147494 (Моделювання транспортної мережі), страница 2

Одеська дорога широко взаємодіє з іншими видами транспорту – морським (у портах Одеса, Іллічевськ, Південний, Миколаїв і Херсон), річковим (у портах Ізмаїл на Дунаєві, Херсон і Черкаси на Дніпру) і автомобільним. Між портом Іллічевськ і болгарський порт Варна регулярно курсують морські залізничні пароми.

У районі тяжіння дороги протікає Дніпро. По ньому перевозять: униз – зернові вантажі, мінерально-будівельні матеріали, нагору – нафтові вантажі.

Станція Гомель відноситься до Білоруської залізниці.

1. Теоретичні положення з організації моделювання транспортних мереж

Задачу пошуку найкоротшого шляху між джерелом і стоком (початковий і кінцевий пункти мережі) можна вирішити за допомогою алгоритму Дейкстри. Алгоритм Дейкстри розроблений для знаходження найкоротшого шляху між заданим вихідним вузлом і будь-яким іншим вузлом мережі.

У процесі виконання цього алгоритму при переході від вузла до наступного вузла використовується спеціальна процедура позначки ребер. Позначимо через найкоротшу відстань від вихідного вузла 1 до вузла , через – довжину ребра . Тоді для вузла визначимо мітку в такий спосіб:

Мітки вузлів в алгоритмі Дейкстри можуть бути двох типів: тимчасові і постійні. Тимчасова мітка згодом може бути замінена на іншу тимчасову, якщо буде знайдений більш короткий шлях до даного вузла. Коли ж стане очевидним, що не існує більш короткого шляху від вихідного вузла до даного, статус тимчасової мітки змінюється на постійний.

Розрахункова схема алгоритму складається з наступних кроків.

Крок 0. Вихідному вузлу (вузол 1) привласнюється мітка . Думаємо .

Крок i. а) Обчислюються тимчасові мітки для усіх вузлів , які можна досягти безпосередньо з вузла , і які не мають постійних міток. Якщо вузол уже має мітку , отриману від іншого вузла , і якщо , тоді мітка заміняється на .

б) Якщо усі вузли мають постійні мітки, процес обчислень закінчується. У противному випадку вибирається мітка з найменшим значенням відстані серед усіх тимчасових міток (якщо таких міток декілька, то вибір довільний). Думаємо і повторюємо крок .

Задача визначення найкоротших відстаней між елементами транспортної мережі (Алгоритм Флойда).

Дана задача вирішується за допомогою алгоритму Флойда.

Цей алгоритм більш загальний у порівнянні з алгоритмом Дейкстри, тому що він знаходить найкоротші шляхи між будь-якими двома вузлами мережі. У цьому алгоритмі мережа представлена у виді квадратної матриці з рядками і стовпцями. Елемент дорівнює відстані від вузла до вузла , що має кінцеве значення, якщо існує дуга , і дорівнює нескінченності в противному випадку.

Покажемо спочатку основну ідею методу Флойда. Нехай є три вузли і задані відстані між ними (рис. 3.1). Якщо виконується нерівність , то доцільно замінити шлях шляхом . Така заміна (далі її будемо умовно називати трикутним оператором) виконується систематично в процесі виконання алгоритму Флойда.

Рис. 3.1. Трикутний оператор

Алгоритм Флойда вимагає виконання наступних дій.

Крок 0. Визначаємо початкову матрицю відстаней і матрицю послідовності вузлів . Діагональні елементи обох матриць позначаються знаком «–», що показує, що ці елементи в обчисленнях не беруть участь. Думаємо :

Рис. 3.2. Початкова ситуація

Основний крок k. Задаємо рядок і стовпець як ведучий рядок і ведучий стовпець. Розглядаємо можливість застосування трикутного оператора до всіх елементів матриці . Якщо виконується нерівність , тоді виконуємо наступні дії:

• створюємо матрицю шляхом заміни в матриці елемента на суму ,

• створюємо матрицю шляхом заміни в матриці елемента на . Думаємо і повторюємо крок .

Пояснимо дії, виконувані на -м кроці алгоритму, представивши матрицю так, як вона показана на рис 3.3. На цьому рисунку рядок і стовпець є ведучими. Рядок – будь-який рядок з номером від 1 до , а рядок – довільний рядок з номером від до . Аналогічно стовпець представляє будь-як стовпець з номером від 1 до , стовпець – довільний стовпець з номером від до . Трикутний оператор виконується в такий спосіб. Якщо сума елементів ведучих рядка і стовпця (показаних у квадратах) менше елементів, що знаходяться в перетинанні стовпця і рядка (показаних у кружках), що відповідають розглянутим ведучим елементам, то відстань (елемент у кружку) заміняється на суму відстаней, представлених ведучими елементами:

Рис. 3.3. Ілюстрація алгоритму Флойда

Після реалізації кроків алгоритму визначення по матрицях і найкоротшому шляху між вузлами і виконується за наступними правилами.

1. Відстань між вузлами і дорівнює елементові в матриці .

2. Проміжні вузли шляху від вузла до вузла визначаємо по матриці . Нехай , тоді маємо шлях . Якщо далі і , тоді вважаємо, що весь шлях визначений, тому що знайдені всі проміжні вузли. У противному випадку повторюємо описану процедуру для шляхів від вузла до вузла і від вузла до вузла .

При аналізі транспортних мереж часто виникає задача визначення максимального потоку, що може пропустити дана мережа, а також задача розподілу цього потоку по дугах мережі.

З математичної точки зору задача про максимальний потік формулюється в такий спосіб: при заданій конфігурації мережі і відомої пропускної здатності знайти ненегативні значення , що задовольняють умовам і, що максимізують функцію , тобто

Алгоритм для знаходження максимального потоку був запропонований Фордом і Фалкерсоном і полягає в поступовому збільшенні потоку, що пропускається по мережі, доти, поки він не стане найбільшим. Алгоритм заснований на теоремі Форда-фалкерсона: у будь-якій транспортній мережі максимальний потік із джерела в стік , дорівнює мінімальній пропускній здатності розрізу, що відокремлює від .

Крок 0. Призначаємо вузлові 15 постійну мітку [0, -].

Крок 1. З вузла 15 можна досягти вузлів 21 2 12. Обчислюємо мітки для цих вузлів, у результаті одержуємо наступну таблицю міток:

Вузол

Мітка

Статус мітки

15

Постійна

21

[512,15]

Тимчасова

2

[237,15]

Тимчасова

Серед вузлів 21, 2, 12, вузол 12 має найменше значення відстані (U12=172). Тому статус мітки цього вузла змінюється на «постійна».

Крок 2. З вузла 12 можна потрапити у вузли 2, 23, 22. Одержуємо наступний список вузлів.

Тимчасовий статус мітки [237,15] вузла 2 заміняється на постійний (U2=237).

Крок 3. З вузла 2 можна досягти вузлів 21, 22, 31. Після обчислення міток одержимо наступний їх список:

Вузол

Мітка

Статус мітки

15

Постійна

12

[172,15]

Постійна

2

[237,15]

Постійна

21

[512,15]

Тимчасова

21

[370+512,2]=[882,2]

Тимчасова

22

[1009,12]

Тимчасова

22

[696+237,2]=[933,2]

Тимчасова

23

[810,12]

Тимчасова

31

[655+237,2]=[892,2]

Тимчасова

Тимчасовий статус мітки [512,15] вузла 21 заміняється на постійний (U21=512).

Крок 4. З вузла 21 можна досягти вузлів 31. Після обчислення міток одержимо наступний їх список:

Вузол

Мітка

Статус мітки

15

Постійна

12

[172,15]

Постійна

2

[237,15]

Постійна

21

[512,15]

Постійна

22

[933,2]

Тимчасова

23

[810,12]

Тимчасова

31

[892,2]

Тимчасова

31

[512+289,21]= [801,21]

Тимчасова

Тимчасовий статус мітки [801,21] вузла 31 заміняється на постійний (U31=801).

Крок 5. З вузла 31 можна досягти вузлів 22, 38. Після обчислення міток одержимо наступний їх список:

Вузол

Мітка

Статус мітки

15

Постійна

12

[172,15]

Постійна

2

[237,15]

Постійна

21

[512,15]

Постійна

31

[801,21]

Постійна

22

[933,2]

Тимчасова

22

[801+237,31]= [1038,31]

Тимчасова

23

[810,12]

Тимчасова

38

[801+197,31]= [992,31]

Тимчасова

Тимчасовий статус мітки [810,12] вузла 23 заміняється на постійний (U23=810).

Крок 6. З вузла 23 можна досягти вузла 22, 38, 3. Після обчислення міток одержимо наступний їх список:

Вузол

Мітка

Статус мітки