126097 (Рух механічної системи із двома ступенями волі), страница 2

Визначимо реакції в опорі обертового тіла методом кінетостатики. Він полягає в рішенні задачі динаміки засобами (рівняннями) статики. Для кожної крапки механічної системи справедливо основне рівняння динаміки:

(4.1)

Тут і – маса й прискорення деякої крапки системи; – сума всіх активних сил і реакцій зв'язків, прикладених до неї.

Основному рівнянню динаміки (4.1) можна додати вид рівняння статики:

(4.2)

Тут – сила інерції крапки механічної системи.

Малюнок 4.1. Визначення реакцій в опорах обертового тіла

Для заданої механічної системи рівняння статики (4.2) має вигляд:

(4.3)

Для визначення реакції шарніра нам необхідно й досить взяти за координатні осі – нерухливі осі й , і визначити тридцятимільйонні реакції шарніра на ці осі:

(4.4)

Звідси:

Підставивши значення сил, одержимо:

(4.5)

Тепер проектуємо (4.2) на нерухливу вісь :

(4.6)

Звідси:

Підставивши відомі значення сил, одержимо:

(4.7)

Повну реакцію в шарнірі можна знайти по формулі: , де й визначаються вираженнями (4.5) і (4.7);

5. Дослідження руху механічної системи із двома ступенями волі за допомогою рівнянь Лагранжа II роду

5.1 Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа

Рівняння другого роду є одним з найбільш зручних прийомів складання рівнянь руху механічних систем. Вони мають такий вигляд:

(5.1.1)

Тут – кінетична енергія системи; , , , – узагальнені координати, швидкості й сили відповідно; – число ступенів волі.

Рівняння (5.1.1) утворять систему рівнянь другого порядку щодо функцій , а порядок даної системи дорівнює . Форма рівнянь Лагранжа не залежить від вибору узагальнених координат . У зв'язку із цим говорять, що рівняння Лагранжа другого роду мають властивість інваріантності.

Як видно з (5.1.1), для одержання рівнянь Лагранжа необхідно знайти відповідні похідні від кінетичної енергії системи й визначити узагальнені сили.

Визначимо кінетичну енергію системи. Вона буде складатися з кінетичних енергій трикутника й кульки: .

Підставивши значення з (3.1.5), одержимо:

(5.1.2)

Кінетична енергія кульки визначається його масою й відносною й переносною швидкостями:

З урахуванням відомих значень швидкостей, одержимо:

(5.1.3)

Кінетична енергія системи дорівнює:

(5.1.4)

Знайдемо похідні від кінетичної енергії згідно (5.1.1):

(5.1.5) (5.1.6)

(5.1.7) (5.1.8)

Малюнок 5.1.1. Визначення кінетичної й потенційної енергій системи

Тепер, виходячи з (5.1.1), потрібно визначити узагальнені сили. Дана механічна система є консервативної, ми можемо визначити узагальнені сили через потенційну енергію по формулі:

(5.1.9)

Знайдемо потенційну енергію. Вона буде складатися з робіт консервативних сил по переміщенню тіла з нульового положення: . За нульовий рівень потенційної енергії виберемо початковий момент часу, при :

– енергія положення кульки;

– енергія положення прямокутника;

– потенційна енергія сили пружності;

Потенційна енергія системи дорівнює:

(5.1.10)

Знайдемо узагальнені сили:

(5.1.11)

(5.1.12)

Тепер можемо записати систему рівнянь Лагранжа II роду:

(5.1.13)

(5.1.14)

5.2 Одержання диференціального рівняння відносного руху матеріальної крапки

(5.1.13) і (5.1.14) - це система рівнянь Лагранжа II роду; перше з них являє собою диференціальне рівняння відносного руху. При порівнянні (5.1.13) з рівнянням відносного руху (2.7) видно, що рівняння тотожні:

(2.7)

(5.1.13)

5.3 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості

(5.1.14) - це рівняння рівняння руху твердого тіла без обмеження на закон зміни кутової швидкості обертання. Визначимо величину зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання:

(5.1.14)

При дії зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання, рівняння (5.1.14) прийме вид:

(5.3.1)

Звідси:

(5.2.2)

Зрівняємо з отриманим раніше значенням:

(3.2.2)

Отже, два різних способи визначення зовнішнього моменту дали один результат.

6. Визначення положень рівноваги механічної системи й дослідження їхньої стійкості

Важливим випадком руху механічних систем є їхній коливальний рух. Коливання - це повторювані рухи механічної системи щодо деякого її положення, що відбуваються більш-менш регулярно в часі. У курсовій роботі розглядається коливальний рух механічної системи щодо положення рівноваги (відносного або абсолютного).

Механічна система може робити коливання протягом досить тривалого проміжку часу тільки поблизу положення стійкої рівноваги. Тому перед тим, як скласти рівняння коливального руху, треба знайти положення рівноваги й досліджувати їхня стійкість.

Відповідно до основного рівняння статики, для того щоб механічна система перебувала в рівновазі, необхідно й досить, щоб у цій системі були дорівнюють нулю всі узагальнені сили:

(6.1)

– узагальнені сили; – число узагальнених координат у механічній системі.

У нашім випадку механічна система перебуває в потенційному силовому полі; з рівнянь (6.1) одержуємо наступні умови рівноваги:

(6.2)

Отже, у положенні рівноваги потенційна енергія має екстремальне значення. Не всяка рівновага, обумовлена вищенаведеними формулами, може бути реалізоване практично. Залежно від поводження системи при відхиленні від положення рівноваги говорять про стійкість або нестійкість даного положення. Достатні умови стійкості положень рівноваги для консервативних систем визначаються теоремою Лагранжа - Дирихле: «Положення рівноваги консервативної механічної системи стійко, якщо в ньому потенційна енергія системи має ізольований мінімум».

Визначимо положення рівноваги для заданої механічної системи, використовуючи раніше знайдені узагальнені сили (5.1.11) і (5.1.12) із системи рівнянь:

(6.4)

Для нашої механічної системи маємо:

Перше положення рівноваги: , .

Друге положення рівноваги: , .

Використовуючи теорему Лагранжа - Дирихле визначаємо, що перше положення рівноваги є не стійким, а друге - стійким.

Малюнок 6.1. Положення рівноваги механічної системи

Знайдемо другі похідні від потенційної енергії по узагальнених координатах:

Для дослідження стійкості положення рівноваги необхідно досліджувати на матрицю твердості, складену зі значень вираження (6.5) у цьому положенні рівноваги.

1)

Положення рівноваги не стійке

2)

Положення рівноваги стійке

Висновок

У даній курсовій роботі була досліджена механічна система із двома ступенями волі. У результаті були досягнуті поставлені цілі, а саме:

отримано закон відносного руху матеріальної крапки;

складено рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту, визначене значення зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання конструкції;

знайдено реакції в опорах обертового тіла;

проведено дослідження руху механічної системи за допомогою рівнянь Лагранжа II роду, у результаті якого отримані рівняння відносного руху матеріальної крапки й закон зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості;

визначено положення рівноваги механічної системи й досліджена їхня стійкість;

Список джерел

Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. і ін.: Курс теоретичної механіки. – К., 2004

Яблонський А.А., Норейко С.С.: Курс теорії коливань. – К., 2006

Динаміка крапки й механічної системи: Навчальний посібник для курсового проектування / Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай І.А.; Під ред. проф. В.С. Асланова. – К., 2003