2.2 Розв’язок завдання 2

Абсолютну похибку опосередкованого вимірювання можна визначити через повний диференціал виразу цього вимірювання. А саме

.(2.8)

Тут

;

;

.

.

;

= ;

Розрахунки реалізовані за допомогою математичного пакету MathCAD і наведені у додатку Б.

2.3 Розв’язок завдання 3

Найкращою оцінкою багатократних прямих рівно точних вимірювань, що дає змогу зменшити вплив випадкових складових похибки вимірювання кожного окремого спостереження, є середнє значення

.(2.9)

Незміщена оцінка дисперсії сукупності спостережених значень

(2.10)

Проаналізуємо чи немає серед спостережень грубих (аномальних) помилок. Сформуємо із спостережень варіаційний ряд (від найменшого значення до найбільшого):

16,62; 16,62; 16,63;16,66;16,68;16,69;16,72;16,73;16,73;16,77;16,79;16,79;

Перевіримо крайні члени ряду на аномальність. Знайдемо співвідношення

(2.11)

(2.12)

За табл.1 (додаток), що задає допустимі значення про нормованих відхилень від середнього і заданою довірчою ймовірністю, знайдемо , а саме: для , а отже, надійності , та n=12 маємо . Оскільки та менші від , то кратні значення (варіанти) варіаційного ряду не треба розглядати, як аномальні. Незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення середнього значення

(2.13)

Оскільки кількість спостережень < 30, то при оцінюванні гарантійного (довірчого) інтервалу для похибки середнього доцільно скористатися не розподілом Гауса, а Стьюдента. За табл.. 2 (додаток), що задає допустимі значення гарантійного коефіцієнта для заданої гарантійної (довірчої) ймовірності, знайдемо відповідний коефіцієнт. А саме для n=12, =0,99, =3,055. Отже, результат вимірювання

(2.14)

2.4 Розв’язок завдання 4.

Похибку опосередкованого вимірювання шукаємо за похибками прямих вимірювань. Зокрема, відносна похибка , А абсолютна похибка непрямого вимірювання (див. задачу3)

(2.15)

Результати рівно точних взаємно незалежних спостережень величин Х та У містять випадкові похибки. Тому найкращою оцінкою кожної з безпосередньо вимірюваних величин (Х та У) та опосередкованої величини U будуть їх середні значення, тобто

(2.16)

….(2.17)

…(2.18)

За визначенням абсолютна похибка тут - істинне, дійсне та середнє значення величини U, яку можна оцінити значеннями за прямими спостереженнями та .

Тому дисперсія абсолютної похибки усередненого результату посереднього вимірювання

(2.19)

Так само пов’язані і їх незміщені оцінки

(2.20)

Своєю чергою дисперсія похибок кожної з усереднених величин та дорівнює сумі незміщеної оцінки дисперсії середнього випадкових спостережень та дисперсії інструментальної похибки відповідного вимірювального приладу, а саме:

(2.21)

Незміщені оцінки дисперсії спостережень

(2.22)

(2.23)

А дисперсій відповідних середніх значень та

Звідси

(2.24)

(2.25)

0,73

Для =0,95 й n=9 гарантійний коефіцієнт . Звідси результат опосередкованого вимірювання

(2.26)

2.5 Розв’язок завдання 5.

За умовою вважається, що залежність між величинами Y та Х є лінійною, тобто

Y=kX+b.

Необхідно знайти два невідомі параметри k й b, опрацьовуючи набори результатів спостережень {х,} та {у,} за методом найменших квадратів. Сформуємо відповідні рівняння, а саме: знайдемо часткові похідні функції Y за невідомими параметрами

….(2.27)

Одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими, а саме:

(2.28)

Звідси :

Знайдемо k=0,4; b=8,26. Отже Y=0,4X+8,26.

Рисунок 2.1 - Графік лінійної залежності

2.6 Розв’язок завдання 6.

Складемо систему нормальних рівнянь:

(2.29)

де коефіцієнти

= 6;

= 7;

= 5;

= 5;

= 3;

= 3;

= 5;

= 2;

= 3;

= 4;

;(2.30)

= 13.16+7.21+12.16+10.33+9.2 = 52.06

;(2.31)

= 13.16+8.18+7.21+12.16+10.25+4.21 = 55.17

;(2.32)

= 13.16+8.18+6.2+12.16+10.33+10.25+9.2 = 69.48

;(2.33)

= 13.16+6.2+10.33+10.25+4.21 = 44.15

Врахувавши значення даних коефіцієнтів система нормальних рівнянь матиме вигляд:

Головний визначник цієї системи D = 156.

D1=-244.98 D2=1117 D3=1161 D4=151.5

Найбільш ймовірні значення невідомих дорівнюють:

Підставляємо значення найбільш ймовірних значень до умовних рівнянь:

x1 + x2 + x3 + x4 = -157+7.16+7.44+0.97 = 14

x2 + x3 = 7.16+7.44 = 14.6

x1 + x2 = 7.16-1.57 = 5.59

x3 + x4 = 7.44+0.97 = 8.41

x1 + x2 + x3 = 7.16+7.44-1.57 = 13.03

x1 + x3 + x4 = -1.57+7.44+0.97 = 6.84

x1 + x4 + x3 = 7.14+7.44+0.97 = 15.57

x2 + x4 = 7.16+0.97 = 8.13

x3 + x1 = 0.97-1.57 = -0.6

Знаходимо нев’язки

Знайдемо границі довірчого інтервалу

.(2.34)

і аналогічно для інших невідомих. Для цього розрахуємо значення ад’юнктів.

S11 = 70, S22 = 46, S33 = 72, S44 = 58

Для m-n=5 та ймовірності Р=0,95 коефіцієнт Стьюдента tp = 2,571

Розрахуємо границі довірчого інтервалу

Отже, результат вимірювання

Розрахунки реалізовані за допомогою математичного пакету Mathcad і наведені у додаткуу A.

ВИСНОВКИ

У курсовій роботі в теоретичній частині розглянуто класифікацію вимірювань та методи обробки результатів прямих, опосередкованих, сукупних і сумісних вимірювань.

В практичній частині в першому завданні визначено похибки та записано результат прямих вимірювань, проведених під дією впливних величин.

В другому завданні виведено вирази абсолютної та відносної похибок опосередкованого вимірювання величини.

В третьому завданні для 12 результатів спостережень при прямих рівно точних вимірювань визначено оцінку результату вимірювань, дисперсії та СКВ випадкових похибок окремих результатів та оцінку СВК результату вимірювань, оцінено довірчі границі похибки, записано результат.

В четвертому завданні проведено оцінку результату опосередкованого вимірювання, оцінено граничні похибки вимірювань, записано результат.

В п’ятому завданні для результатів вимірювань залежних між собою величин за допомогою методу найменших квадратів визначено коефіцієнти лінійної залежності між ними.

В шостому завданні сформовано систему рівнянь за методом найменших квадратів для результатів сукупних вимірювань, оцінено СКВ, знайдено нев’язку, записано результати вимірювань.

ЛІТЕРАТУРА

1. В.Д. Цюцюра / Метрологія та основи вимірювань: Навч. посібн. / С.В. Цюцюра - К., "Знання -Прес", 2003

2. Кухарчук В.В. / Метрологія та вимірювальна техніка: Навч. посібн. / Кучерук В.Ю., Долгополов В.П., Грумінська Л.В.– Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2004. –252с.

3. Поджаренко В.О. / Методичні вказівки по виконанню курсової роботи з дисципліни: Основи метрології та вимірювальна техніка / Кучерук В.Ю., Войтович О.П.- Вінниця ВНТУ 2007

4. Новицкий П.В. / Оценка погрешностей результатов измерений. / Зограф И.А. – Л.: Энергоатомидат, 1985 – 321 с.

5. Володарський Є.Т. / Метрологічне забезпечення вимірювань і контролю. Навчальний посібник. / Кухарчук В.В, Поджаренко В.О., Сердюк Г.Б. – Вінниця ВДТУ, 2001.

6. Поліщук Є.С., Дорожовець М.М., Яцук В.О., та ін. Метрологія та вимірювальна техніка: Підручник / Є.С. Поліщук, М.М. Дорожовець, В.О. Яцук, В.М. Ванько, Т.Г. Бойко; За ред. проф. Є.С. Поліщука. – Львів: Видавництво “Бескид Біт”, 2003. – 544с.

7. ДСТУ 2681-94. Метрологія. Терміни та визначення. – К.: Держстандарт України, 1994.

ДОДАТКИ

Додаток А

Знаходження найбільш ймовірних значень невідомих за допомогою математичного пакету Mathcad

Додаток Б

Розрахунок значень завдання 2 за допомогою математичного пакету Mathcad