25032 (Основы геодезических измерений), страница 6

m_U = √( m_l1² + m_l2²).

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l₁ - l₂ + l₃

m_U = √( m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_n

m_U = √[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ( l₁, l₂, …, l_n)

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (dƒ/dl₁)×dl₁ + (dƒ/dl₂)×dl₂ + … + (dƒ/dl_n)×dl_n,

где (dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (dƒ/dl₁)²×m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln².

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n).

И тогда m_U = √[ (dƒ/dl₁)²× m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln²].

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента.

3.5 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах.

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

m_lср. = ½ √∑d²/n

где d – разности в каждой паре; n – количество разностей.

Формула Бесселя:

m_lср = ½ √∑d²/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f² /n]/N,

где - СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

4. Определение дополнительных пунктов

4.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов

Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными, а при наличии электронных дальномеров – линейными засечками и лучевым методом.

В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на землю.

4.2 Передача координат с вершины знака на землю. (Решение примера)

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории.

Исходные данные: пункт A с координатами X_A, Y_A; пункты геодезической сети B (X_B, Y_B) и C (X_C, Y_C).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b₁ и b'₁; измерения горизонтальных углов ß₁ , ß'₁ , ß₂ , ß'₂ ; б , б'.

Требуется найти координаты точки P – X_P, Y_P.

Решение задачи разделяется на следующие этапы:

Решение числового примера

Исходные данные

Вычисление расстояния D_АР

Решение обратных задач

Вычисление дирекционных углов α_{АР =} α_D

sin ψ = D×sinб/ S _AB; sin =174,52×0,66179/3068,48=0,03950;

sin ψ' = D×sinб'/ S _AС; sin `=174,52×0,95061/5275,51=0,03292;

ψ = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

ψ'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

φ = 180 ^o – (б+ ψ) = 180 ^o – (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

φ`= 180 <sup>o</sup> – (б`+ ψ` ) = 180 <sup>o</sup> – (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

α_D = α_AB ± φ =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

α_D`= α<sub>AC</sub> ± φ`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

Контроль:

(α_D – α'_D) õm_β;

где m_β –СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в формулах вычисления дирекционного угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ≤ 30``

0^o00` 01`` ≤ 30``

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Х_p = Х_А+ ∆Х,Y_p = Y_А+ ∆Y,

Х'_p = Х_А+ ∆Х',Y'_p = Y_А+ ∆Y'.

∆Х= Dcosα_D,∆Y= Dsinα_D,

∆Х'= Dcosα'_D,∆Y'=Dsinα'_D.

Расхождение координат не должно превышать величины õm_ß×p, где p=206265", m_ß – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность определения отдельного пункта вычисляется по формуле:

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D×m_α / P)²

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _α – точностью угловых измерений.