Лабораторная работа №9

№9.СМО с ожиданием.

Лабораторная работа № 9

Тема: СМО с ожиданием

Цель работы: Ознакомиться с основными характеристиками многоканальной СМО с ожиданием и научиться решать связанные с ними задачи.

Многоканальная СМО с ожиданием.

Рассмотрим задачу (1):

1. СМО имеет m каналов (приборов обслуживания),

2. поток заявок - стационарный пуассоновский с интенсивностью ,

3. время обслуживания распределено по показательному закону с параметром ,

4. заявка, пришедшая в момент, когда заняты все приборы, становится в очередь.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S₀ - все каналы свободны,

S₁ - занят один канал, остальные свободны,

..................................

S_m - заняты все m каналов, очередь пуста,

S_m+1 - заняты все m каналов, одна заявка стоит в очереди,

..................................

Переходы между состояниями осуществляются по схеме:

........

S₀

S₁

S₂

S_m

S_m+1

.......

2

3

m

(m+1)

(m+2)

Обозначим .

Запишем вероятности состояний:

,

где .

Основные характеристики системы:

- среднее число заявок в очереди,

- среднее время ожидания заявки в очереди,

- среднее число заявок на обслуживание или среднее число занятых каналов,

- среднее число заявок в системе,

- средняя продолжительность пребывания заявки в системе,

.

Пример 1. Автозаправочная станция имеет две колонки для заправки автомобилей. Интенсивность потока машин для заправки равна в 0.27 минуту. Предположим, что стоянка для автомобилей, расположенная неподалеку, может вместить всех желающих. Среднее время заправки одной машины составляет 5.7 минут.

Определить основные характеристики системы:

1)среднее число заявок в очереди;

2)среднее время ожидания заявки в очереди;

3)среднее число занятых каналов;

4)среднее число заявок в системе;

5)средняя продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение. В данном случае автозаправка представляет собой систему массового обслуживания с двумя каналами и бесконечной очередью. Определим параметр системы:

.

Определим вероятность того, что в системе нет ни одного требования

и вероятность того, что в системе находятся m требований

.

Среднее число требований в очереди:

.

Среднее время ожидания заявки в очереди

минут.

Среднее число заявок в системе:

.

Среднее время, которое проводит заявка в системе равно:

минут.

СМО с m каналами и ограниченной очередью.

Внесём в задачу (1) дополнительное условие: число мест в очереди равно n. Заявка, поступившая в момент, когда заняты m каналов и n мест в очереди, получает отказ.

Схема переходов между состояниями отличается от вышеописанного тем, что общее число состояний равно m + n.

Вероятности состояний:

.

Найдём некоторые характеристики эффективности обслуживания.

Поступившая заявка получает отказ, если заняты все m каналов и n мест в очереди

.

Относительная пропускная способность .

Абсолютная пропускная способность .

Введём обозначение . Среднее число заявок в очереди

.

Среднее время ожидания .

Среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, вся СМО обслуживает в среднем А заявок в единицу времени, тогда

.

Среднее число требований в системе .

Среднее время пребывания заявки в системе

.

Пример 2. Для задачи из примера 1 определить при какой вместимости автостоянки среднее время ожидания не превосходит 3 минут.

Решение. При ограничении мест на автостоянке имеем СМО с двумя приборами и ограниченным числом мест в очереди. Пусть для начала стоянка рассчитана на 4 места. Тогда, вычислим по формулам среднее время ожидания.

Определим вероятность того, что в системе нет ни одного требования

Среднее число требований в очереди:

Среднее время ожидания заявки в очереди

минут,

то есть при n=4 среднее время ожидания превосходит 3 минуты. Уменьшим число мест на стоянке и проведем аналогичные рачеты. Имеем: , , . Таким образом, если на стоянке три места для автомобилей, то среднее время ожидания не превосходит 3-х минут, но при этом , т.е около 9% машин проезжает мимо, тогда как при n=4 вероятность отказа равна .

Задание к лабораторной работе № 9

1)Автозаправочная станция имеет две колонки для заправки машин. Интенсивность потока машин для заправки равна в 0.4(0.55) минуту. Предположим, что стоянка для автомобилей, расположенная неподалеку, может вместить всех желающих. Среднее время заправки одной машины составляет 3.7(2.9) минут.

а)определить основные характеристики системы.

б)как нужно ограничить количество мест на автостоянке, чтобы среднее время ожидания находилось в пределах от 1.8(1.5) до 2.2(2) минут?

2)Закусочная, расположенная у автомагистрали, имеет прилавок, возле которого может остановиться один автомобиль (два автомобиля). По статистическим оценкам автомобили подъезжают к закусочной с интенсивностью 0.3 (0.4) в минуту. Для выполнения заказов клиентов требуется в среднем 5.9 (6.8) минут. Возле закусочной имеется автостоянка для ожидания, рассчитанная на четыре (три) места.

а)определить основные характеристики системы.

б)для увеличения пропускной способности принято решение о реконструкции закусочной. При этом имеются две возможности: увеличение числа прилавков, прилавок стоит около 800$; расширение автостоянки (расширение на одно место стоит 160$). Выделенные средства составляют 900$. Какое решение следует принять администрации закусочной?

3)Таможня имеет 2 (3) пропускных пунктов. Интенсивность потока клиентов 5.5 (5.7) в час. Среднее время обслуживания 20 (30) минут.

а)определить основные характеристики системы.

б)необходимость уменьшения среднего времени ожидания клиентов привела к решению о реконструкции таможни. При этом рассматриваются два варианта: уменьшение времени обслуживания до 15(20) минут и увеличение пропускных пунктов до 3 (4). Какое решение более эффективно?

4)На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 0.9 (0.8) в час. Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 1.25 (1.4) часов. Остальные пришедшие составы могут стоять на трех (четырех) запасных путях.

а)определить основные характеристики системы.

б)определить при каком количестве запасных путей вероятность отказа не превосходит 0.2 (0.18).

5)Станция техобслуживания имеет две (три) мойки для автомобилей. Поток машин, поступающих на станцию имеет интенсивность 0.3(0.4) в минуту. Среднее время обслуживания одного автомобиля составляет 7.2(11.2). Возле станции имеется автостоянка для ожидания, рассчитанная на мест три (четыре) места.

а)определить основные характеристики системы.

б)анализ системы показал необходимость увеличения пропускной способности, было принято решение о реконструкции станции. При этом имеются две возможности: увеличение числа моек для автомобилей, мойка стоит около 1200$; расширение автостоянки, расширение на одно место стоит 300$. Выделенные средства составляют около 1300$. Какое решение следует принять администрации станции?

6)На вычислительный центр с терминалов поступает информация на обработку. Интенсивность поступления информации равна 0.7 (0.45) сообщения в секунду. Среднее время обработки мегабайта информации 1.3 (1.9) секунды. Средняя длина сообщения 1.2 (0.9) мегабайта. Считаем, что размер буфера неограничен.

а)определить основные характеристики системы.

б)определить размер буфера (в мегабайтах), при котором среднее время ожидания будет находиться в пределах [1.5,2] ([2,2.5]) секунд?

7)Морской порт имеет два (три) грузовых крана для разгрузки кораблей. Интенсивность прибытия судов на разгрузку равна 0.25 (0.34) в час. Средняя продолжительность разгрузки 6.2 (7.9) часов.

а)определить основные характеристики системы.

б)необходимость уменьшения среднего времени ожидания привела к решению о реконструкции порта. При этом рассматриваются два варианта: уменьшение времени обслуживания до 5.5 (6.9) часов и увеличение числа кранов до трех (четырех). Какое решение эффективнее?

8)В небольшом городе функционируют две, принадлежащие разным фирмам, службы такси. Каждая из служб располагает двумя автомобилями, при этом заказы на обслуживание распределяются между службами поровну. Интенсивность поступления заявок в диспетчерские отделения обеих фирм 10 (12) в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 11.5 (9.5) минут. Эти службы были приобретены фирмой “Автосервис”, создана единая диспетчерская.

а)определить как изменились основные характеристики системы.

б)как изменятся эти характеристики при ограничении очереди до 10 мест?

9)В службе быта имеется три (четыре) часовых мастера. Интенсивность потока заказов равна 6 (5) в час. Среднее время ремонта составляет 28.5 (39.5) минут.

а)основные характеристики системы.

б)какое количество мастеров обеспечит производительность, при которой среднее время ожидания заказчика в очереди не превосходит 10 (7) минут.

10)В городе функционировала одна станция технического обслуживания, имевшая четыре линии (шесть линий) для ремонта автомобилей. Интенсивность потока автомобилей 0.9 (1.5) в день. Среднее время ремонта 3.2 (2.9) дня. Открыли филиал в другом конце города и передали часть оборудования - две линии (три линии). При этом интенсивность потока увеличилась на 0.2 (0.4) автомобиля в день, заказы стали распределяться поровну.

а)определить как изменились основные характеристики системы.

б)как изменятся эти характеристики при ограничении очереди до 10 (15) мест?

11)Плотина имеет два (три) шлюза для прохождения кораблей. Интенсивность прибытия кораблей 4.3 (5.2) в час. Средняя продолжительность пребывания кораблей в шлюзе 24 (30) минуты.

а)основные характеристики системы.

б)какое количество шлюзов обеспечит прохождение кораблей через плотину, при котором затрачиваемое на это среднее время не превосходит полчаса (сорок минут).

12)Газозаправочная станция имеет две (три) колонки для заправки сжиженным газом. Интенсивность потока заявок 0.52 (0.62) в минуту. Продолжительность заправки 4.9 (5.9) минуты. Рядом со станцией имеется автостоянка, рассчитанная на три (четыре) места, где могут расположиться ожидающие своей очереди.

а)определить основные характеристики системы.

б)определить при каком количестве мест на автостоянке вероятность отказа не превосходит 0.25 (0.21).

2