№8.Одноканальная и многоканальная СМО с отказами

Лабораторная работа № 8

Тема: Одноканальная и многоканальная СМО с отказами

Цель работы: Ознакомиться с основными характеристиками СМО с отказами и научиться решать связанные с ними задачи.

Одноканальная СМО с отказами

Рассмотрим задачу анализа характеристик СМО при следующих допущениях:

1. Система имеет один канал обслуживания;

2. Поток заявок - простейший, т.е. обладающий одновременно свойствами стационарности, ординарности, отсутствия последействия, с интенсивностью ;

3. Время обслуживания Т есть случайная величина, распределённая по показательному закону с параметром :

f(t) = e^-t t0;

1. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает её (получает отказ).

Требуется найти:

1. А - абсолютную пропускную способность СМО, то есть среднее число заявок, которое может обслуживать система за единицу времени;

2. q - относительную пропускную способность СМО, то есть отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок;

3. P_отк- вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, получит отказ.

Пусть состояние рассматриваемой СМО характеризуется занятостью единственного канала, так что при любом t > 0 система оказывается либо в состоянии S₀ (канал свободен), либо в состоянии S₁ (канал занят). Переход из S₁ в S₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится. Переход из S₀ в S₁ связан с появлением заявки и немедленным началом её обслуживания (см. Рис.1).

Обозначим вероятности состояний p₀(t) и p₁(t). Для любого момента t

(8.1)

где p₀(t) - вероятность того, что канал свободен, p₁(t) - занят.

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

(8.2)

Для решения системы в первое уравнение подставим вместо p₁ его выражение 1 - p₀:

Это уравнение естественно решать при начальных условиях p₀(0)=1, p₁(0)=0 (в начальный момент канал свободен). Напишем решение дифференциального уравнения для случая =const

(8.3)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность p₀ есть не что иное, как относительная пропускная способность q.

Действительно, p₀ есть вероятность того, что в момент t канал свободен, то есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно p₀: q = p₀.

В пределе, при t, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

(8.4)

Зная q, легко найти абсолютную пропускную способность А. Они связаны очевидным соотношением:

В пределе, при t

(8.5)

Зная q, легко найти вероятность отказа:

Вероятность отказа P_отк есть вероятность того, что канал занят, т.е p₁(t). В пределе, при t

Пример 1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка - вызов, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов =0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора мин. Все потоки событий - простейшие. Определить предельные (при t) значения:

1. относительную пропускную способность q;

2. абсолютную пропускную способность А;

3. вероятность отказа P_отк.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый разговор длился в точности 1,5мин., а разговоры следовали один за другим без перерыва.

Решение. Определим параметр потока обслуживаний:

По формуле (8.4) получаем относительную пропускную способность СМО:

Таким образом, в установившемся режиме система будет обслуживать около 45% поступающих вызовов.

По формуле (8.5) находим абсолютную пропускную способность:

То есть линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту. Вероятность отказа:

значит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ.

Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами. Пусть выполнены условия:

1. поток заявок - простейший с интенсивностью ;

2. время обслуживания распределено по показательному закону с параметром (интенсивность освобождений каждого канала СМО);

3. система имеет n каналов обслуживания (n2);

4. заявка, заставшая все каналы занятыми, покидает систему (СМО с отказами).

Требуется найти основные характеристики рассматриваемой СМО и оценить приемлемость тех или иных числовых значений исследуемых показателей.

Обозначим состояния системы:

S₀ - все каналы свободны,

S₁ - занят ровно один канал, остальные свободны,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_n - заняты все n каналов.

Переходы между состояниями осуществляются по схеме:

Составим уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются

p₀(0)=1, p₁(0)=p₂(0)=...=p_n(0)=0.

Проведя некоторые преобразования и обозначив , где - величина которая является приведённой интенсивностью потока заявок, получим окончательную формулу для нахождения вероятностей:

(8.6)

Формулы (8.6) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметров и n ( - интенсивность потока заявок, - интенсивность обслуживания, n - число каналов СМО).

Зная все вероятности состояний p₀,p₁,...,p_k,...,p_n, можно найти характеристики эффективности СМО.

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна

Для вероятности отказа легко вывести рекуррентную формулу в зависимости от числа приборов:

,

которая позволяет вычислить минимальное количество каналов, обеспечивающее заданную вероятность отказа.

Относительная пропускная способность:

Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов - .

Абсолютная пропускная способность:

Выразим через абсолютную пропускную способность А, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, один занятый канал обслуживает в среднем за единицу времени заявок; среднее число занятых каналов получается делением А на :

или

.

Пример 2. Повторяются условия предыдущего примера =0,8; =0,667, однако вместо одноканальной СМО (n=1) рассматривается трёхканальная (n=3), то есть число линий связи увеличено до трёх. Найти вероятность состояний, абсолютную и относительную пропускную способности, вероятность отказа и среднее число занятых каналов.

Решение. Приведённая интенсивность потока заявок:

По формулам Эрланга (8.6) получаем:

Вычисляем вероятность отказа:

Относительная и абсолютная пропускные способности равны:

Среднее число занятых каналов:

то есть при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занят один с небольшим канал из трёх - остальные два будут простаивать. Этой ценой добивается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания - около 91% всех поступающих вызовов будет обслужено.

Задание к лабораторной работе № 8

1.1.Одноканальная СМО с отказами представляет собой телефонный заказ такси. Заявка, пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов =0.7 (0.9) {вызовов в минуту}. Средняя продолжительность вызова такси =2.5 (2.3) мин. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

1.2.СМО имеет три (два) канала при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Какое количество каналов должна иметь система , чтобы вероятность отказа была меньше, чем 0.1. (В каких пределах должна быть интенсивность потока вызовов, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)

2.1.Одноканальная СМО с отказами представляет собой стол заказов промышленных изделий. Если заказчик приходит в момент, когда на обслуживание уже подана заявка, то он получает отказ. Интенсивность поступления заказов =1.2(1.1) (в час). Средняя продолжительность обслуживания =5(3.5) часов. Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк.

2.2.Рассмотреть СМО с двумя (тремя) столами заказов при той же интенсивности потока заявок и времени обслуживания.

а)Найти основные характеристики СМО: q, A, P_отк, .

б)Как изменить время обслуживания заказчиков, чтобы вероятность отказа стала меньше, чем 0.3. (Какое количество каналов должна иметь система, чтобы вероятность отказа не превосходила 0.1)