Лабораторная работа №5
Описание файла
Документ из архива "Лабораторная работа №5", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели в естествознании и экологии" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лабораторные работы", в предмете "математические модели в естествознании и экологии" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лабораторная работа №5"
Текст из документа "Лабораторная работа №5"
№5.Симплекс метод в теории игр
Лабораторная работа № 5
Тема: Симплекс - метод в теории игр
Цель работы: Научиться составлять пару двойственных задач линейного программирования для матричных игр, с использованием симплекс-метода решать их.
Рассмотрим игру mn с m стратегиями A1 ... Am игрока A и n стратегиями B1 ... Bn игрока B. Задана матрица игры
(5.1)
Требуется найти решение игры, т.е. две оптимальные смешанные стратегии игроков A и B:
,
где - вероятности применения чистых стратегий.
Оптимальная стратегия SA должна обеспечить выигрыш, не меньший , при любом поведении противника, и выигрыш, равный , при его оптимальном поведении, т.е. при стратегии SB . Т.е. для любой чистой стратегии игрока B имеем , при этом естественно желание игрока A максимизировать свой выигрыш. Таким образом, для игрока A имеем задачу:
Найти max
при условиях
(5.2)
Для игрока B задача приобретает вид:
Найти
при условиях
(5.3)
В силу того, что игрок B стремится минимизировать проигрыш, при использовании противником любой чистой стратегии, B проиграет меньше, чем , и , если A применит свою оптимальную стратегию. Здесь - цена игры.
Полагаем, что >0. Если это не так, то этого можно добиться прибавлением к элементам платёжной матрицы одного и того же положительного числа. Разделив каждое из соотношений задач (5.2)-(5.3) на и положив
получим для второго игрока:
,
для первого игрока:
.
Поскольку второй игрок заинтересован в уменьшении, а первый в увеличении цены игры , то переходим к следующей паре двойственных задач.
Исходная задача (для второго игрока): найти значения , такие что
при условиях (5.4)
Двойственная задача (для первого игрока):.найти значения , такие что
при условиях (5.5)
Так как каждая игра имеет решение, то оптимальные решения пары двойственных задач существуют и .
Если одна из задач этой игры решена симплекс-методом, то оптимальное решение другой содержится в последней симплекс таблице исходной задачи.
Оптимальные стратегии матричной игры рассчитываются по формулам
(5.6).
Таким образом решение задачи симплекс-методом включает следующие этапы:
-
Если в матрице есть отрицательные элементы, то вычесть из всех число S=min .
-
Сформулировать задачи вида (5.4)-(5.5) для обоих игроков.
-
Решить обе задачи симплекс-методом, т.е. найти оптимальные значения , .
-
Найти оптимальные стратегии , по формулам (5.6) и цену игры .
-
Найти цену исходной игры добавлением к величины S.
Пример. Найти методом линейного программирования решение игры, заданной матрицей:
Найдем оптимальную смешанную стратегию SA*=(p1,p2,p3) игрока А. Условия (5.5) примут вид:
Минимизируемая линейная функция .
Перейдем от условий-неравенств к условиям равенствам, введя переменные x4, x5, x6, каждая из которых входит в одно уравнение с коэффициентом -1, в остальные с коэффициентом равным 0. Функция L принимает вид x1+x2+x3+0x4+0x5+0x6. Вводим базисные переменные z1, z2, z3 получаем задачу:
minZ=
при условиях:
.
Здесь M - бесконечно большое число.
Заносим данные в симплекс-таблицу и находим решение задачи.
Из таблицы видно, что функция Z принимает минимальное значение min Z=1/5 при x1=2/21, x2=2/21, x3=1/7. Отсюда =1/Z=3 - цена исходной игры, p1=x1=2/213=2/7, p2=x2=2/213=2/7, p3=x3=1/73=3/7.
Таким образом найдена оптимальная стратегия игрока А SA*=(2/7,2/7,3/7). Аналогично можно найти оптимальную смешанную стратегию для игрока В. SВ*=(3/6,2/6,1/6).
Коэффициенты | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
базисные | свобод- | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | M | M | M | ||||||||||||||||||||||||||||
базисные | перемен- | ные | Переменные | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
ные | члены | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | z1 | z2 | z3 | ||||||||||||||||||||||||||||
M | z1 | 1 | 2 | 1 | 5 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||
M | z2 | 1 | 3 | 6 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||
M | z3 | 1 | 6 | 3 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||
Z=3M | 1-11M | 1-10M | 1-7M | M | M | M | 0 | 0 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||
M | z1 | 2/3 | 0 | 0 | 14/3 | -1 | 0 | 1/3 | 1 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
M | z2 | 1/2 | 0 | 9/2 | 1/2 | 0 | -1 | 1/2 | 0 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
1 | x1 | 1/6 | 1 | 1/2 | 1/6 | 0 | 0 | -1/6 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
Z=7/6M+1/6 | 0 | 1/2-9/2M | 5/6-31/6M | M | M | 1/6-5/6M | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x3 | 1/7 | 0 | 0 | 1 | -3/14 | 0 | 1/14 | - | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
M | z2 | 3/7 | 0 | 9/2 | 0 | 3/28 | -1 | 13/28 | - | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
1 | x1 | 1/7 | 1 | 1/2 | 0 | 1/28 | 0 | -15/84 | - | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
Z=3/7M+2/7 | 0 | 1/2-9/2M | 0 | 5/28-3/28M | M | 9/84-13/28M | - | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x3 | 1/7 | 0 | 0 | 1 | -3/14 | 0 | 1/14 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x2 | 2/21 | 0 | 1 | 0 | 1/42 | -2/9 | 13/126 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | x1 | 2/21 | 1 | 0 | 0 | 1/42 | 1/9 | -29/126 | ||||||||||||||||||||||||||||||
Z=1/3 | 0 | 0 | 0 | 5/28 | 1/9 | 7/126 |
Задание к лабораторной работе № 5
Пользуясь симплекс-методом решить задачи теории игр, представленные в матричной форме.
1. | 2. | 3. | 4. |
5. | 6. | 7. | 8. |
9. | 10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. | 16 |
17. | 18. | 19. | 20. |
21. | 22. | 23. | 24. |
25. |
13