МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ (СОБЕСЕДОВАНИЯ)

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

010400 Прикладная математика и информатика

ПРОФИЛИРУЮЩАЯ ДИСЦИПЛИНА

Математические модели в естествознании и экологии

“Утверждаю”

Директор института

АВТ Лунин В.П.

Зав. кафедрой

ММ Амосов А.А.

Часть 1.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

ПРОФИЛИРУЮЩЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Математические модели в естествознании и экологии

1. Содержание теоретических разделов дисциплины

1. Предмет механики сплошных сред. Описание сплошных сред в пе­ременных Эйлера

и Лагранжа.

2. Векторно-тензорный математический аппарат для описания спло­шной среды. Тензоры

и их свойства.

3. Кинематика сплошной среды. Тензоры деформаций, скоростей деформационного

градиента, скоростей деформации и тензор завихренности.

4. Балансные соотношения и законы сохранения для сплошных сред. Закон сохранения

массы. Урав­нение неразрывности. Закон сохранения энергии. Балансное соотноше­ние

для энтропии.

1. Динамика сплошных сред. Закон баланса импульса. Шаровой характер тензора напряжений для изотропной покоящейся среды. Закон Паскаля.

6. Статическое давление. Динамическая часть тензора напряжений. Тензор плотности

потока импульса. Закон сохранения момента им­пульса.

7. Проблема замыкания системы дифференциальных уравнений для сплошной среды.

Баланс внутрен­ней энергии и первый закон термодинамики.

1. Модель вязкой теплопроводной жидкости. Уравнение состояния и соотношение Гиббса. Выражение для производства энтропии. Шаровая и девиаторная части

динамического тензора напряжений и тензора ско­ростей деформации.

9. Уравнения Навье - Стокса. Уравнение переноса тепла и его статическая форма.

Безразмерная форма уравнений. Число Рейнольдса.

10. Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Соотношение Гиб­бса для тепловой

функции (энтальпии).

11. Изэнтропические процессы. Гидростатика.Распределение давления в океане и атмос-фере. Уравне­ния движения идеальной жидкости в форме Громеко-Лэмба.Интеграл Бернулли.

12. Вихри в идеальной жидкости. Теорема о вмороженности вихря. Теорема Кельвина о сохранении циркуляции. Теорема Лагранжа о сохра­нении потенциальности движения

13. Уравнения идеальной магнитной гидродинамики. Процессы в ионо­сфере Земли.

14. Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл Лагранжа - Коши. Потенциал и функция тока для плоской задачи.

15. Волны малой амплитуды в идеальной несжимаемой жидкости. Повер­хностные волны. Внутренние гравитационные волны. Экологическое значение слоев скачка в океане.

16. Единая термогидродинамическая модель сплошной среды. Уравнения свободной конвекции в приближении Буссинеска.

17. Устойчивость и неустойчивость стратификации. Кри­тические числа Грассгофа и Рэлея. Роль особой точки воды в сохра­нении экосистем.

18. Термогидродинамика системы "океан - атмосфера" и прогнозы глобальных изменений климата как результата деятельности человека.

1.2. Содержание практических занятий дисциплины

1. Описание сплошных сред в переменных Эйлера и Лагранжа.

2. Векторно-тензорный математический аппарат для описания сплошной среды.

3. Кинематика сплошной среды. Тензоры конечных деформаций, скоростей дефор-маций, завихренности.

4. Балансные соотношения и законы сохранения для сплошных сред. Контрольная работа.

5. Уравнения Навье - Стокса.

6. Модель идеальной жидкости.

7. Модели стратифицированной сплошной среды. Приближение Буссинеска. Внутрен-ние волны и свободная конвекция.

1.3. Литература

1. Гольдштейн Р.В, Городцов В.А. Механика сплошных сред. Часть I. М.: Наука, 2000.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. В 2-х томах. М.: Наука, 1995.

3. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. Пер. с англ. М.: Мир, 1974.

Часть II

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ПРОГРАММЫ

ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

II. 1. Алгебра и аналитическая геометрия

1. Определители и их свойства.

2. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге матрицы.

3. Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравнений. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Линейные пространства. Базис. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

5. Евклидовы и унитарные пространства. Неравенство треугольника.

Неравенство Коши-Буняковского.

1. Линейные операторы. Матрица оператора. Обратный оператор.

2. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Операторы простой структуры.

Литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1986.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1988.

II.2. Математический анализ

1. Предел числовой последовательности. Cвойства сходящихся последовательностей. Частичные пределы. Критерий Коши.

2. Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Производная и ее свойства. Правила вычисления производной. Уравнения касатель- ной и нормали к кривой.

4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

5. Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

6. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

7. Числовые ряды. Сходимость ряда, сумма ряда. Критерий Коши сходимости. Признаки сходимости числовых рядов.

8. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномер-ной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда.

9. Степенные ряды. Радиус сходимости и область сходимости. Ряд Тейлора.

10. Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.

11. Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

12. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Аналитические функции комплексного перемен- ного. Условия Коши-Римана.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 1,2. М.: Высшая школа. 1973 (и последу-ющие издания).

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1978 (и последующие издания).

II.3. Дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнения

первого порядка, интегрируемы в квадратурах.

1. Задача Коши. Теорема Пеано о разрешимости задачи Коши. Теоремы о единствен-ности решения задачи Коши.

22. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Общее решение.

1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем диффе-ренциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову решений систем с постоянными коэффициентами.

24. Исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема Ляпунова об

устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости.

1. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений.

Теорема Стеклова.

Литература

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука. 1969 (и последующие издания).

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1985.

II.4. Уравнения математической физики

26. Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

1. Начально-краевые задачи для параболического уравнения. Метод разделения переменных. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.

2. Начально-краевые задачи для гиперболического уравнения. Метод разделения переменных. Решение первой краевой задачи методом Фурье.

3. Задача Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Принцип максимума.

4. Метод Галеркина для решения задачи Дирихле.

Литература

1. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир. 1985.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1980.

II.5. Численные методы

1. Основные понятия вычислительной математики. Корректность, устойчивость, обусловленность вычислительных задач и вычислительных алгоритмов.

2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Метод конечных разностей. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Разностный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: 1978.

2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М. Изд-во МЭИ. 2003.

II.6. Элементы функционального анализа

36. Метрические пространства. Полнота метрических пространств. Принцип сжимающих отображений и его приложения.

1. Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их свойства. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

38. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Линейные операторы. Ограниченность и непрерывность линейного оператора.

Литература.

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука. 1976.

2. Треногин В.А. Функциональный анализ. М. Наука. 1986.

Программу составили

Зав. кафедрой ММ,

д.ф.-м.н., профессор Амосов А.А.

д.ф.-м.н., профессор Дубинский Ю.А.