2301 (Доходность банковских операций)

Задача 1

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 10 000 руб. достигнет через 180 дней суммы S

Решение:

Расчет происходит исходя из того, что в месяце 30 дней, в году 365 или 366 дней. При этом применяются простые проценты, то есть проценты начисляются на одну и ту же сумму в течение всего срока пользования кредитом.

Необходимость определения уровня процентной ставки возникает в тех случаях, когда она в явном виде в условиях финансовой операции не участвует, но степень доходности операции по заданным параметрам можно определить, воспользовавшись следующей формулой:

i = (FV - PV): (PV • n) = [(FV - PV): (PV • t)] • T, где

FV – конечная стоимость кредита = 15000

PV – первоначальная стоимость кредита = 10000

N – количество дней на которое выдается кредит = 180

Т – количество дней в году = 360

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного процента":

i = [(FV - PV): (PV • t)] • T =

= [(15000 - 10000) / (10000 • 180)] * 360 = 0,100

Таким образом, доходность финансовой операции составит 100% годовых, что соответствует весьма высокодоходной финансовой операции.

Задача 2

Кредит в размере Р руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые проценты i, % определить размер долга для различных вариантов начисления процентов.

Решение:

Из определения процентов не трудно заметить, что проценты (процентные деньги) представляют собой, по сути, абсолютные приросты:

I = FV - PV,

а поскольку база для их начисления является постоянной, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их сумму или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды:

I = (FV - PV) n = [(FV - PV) / PV • PV] n = i • PV • n,

где i = (FV - PV) / PV по определению процентной ставки.

Таким образом, размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции.

Тогда наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом:

FV = PV + I = PV + i • PV • n = PV (1 + i • n) = PV • kн,

где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов.

Данная формула называется "формулой простых процентов".

Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

Наращенная сумма:

FV = PV (1 + n • i) = 35000 (1 + (202/360) • 0,40) = 42700 руб.

или

FV = PV • kн = 35000 • 1,22 = 42700 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = PV • n • i = 35000 • 0,56 • 0,40= 7840руб.

или

I = FV - PV = 42700 - 7840 = 34860 руб.

Таким образом, через 202 дня необходимо вернуть общую сумму в размере 42700 рублей, из которой 35000 рублей составляет долг, а 7840 рублей – "цена долга".

Задача 3

Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент i, %, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3 %. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет Р руб. (простые проценты).

Решение:

Р= 35000 руб., I = 40%

Наращенная сумма в 1 квартале:

FV = PV (1 + М / 12 • i) = 35000 (1 + 3/12 *0.40) = 38500 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = FV - PV = 38500 - 35000 = 3500 руб.

Наращенная сумма в 2 квартале:

FV = PV (1 + М / 12 • i) = 35000 (1 + 3/12 *0.43) = 38762.50 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = FV - PV = 38762.50 - 35000 = 3762.50 руб.

Наращенная сумма в 3 квартале:

FV = PV (1 + М / 12 • i) = 35000 (1 + 3/12 *0.46) = 39025 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = FV - PV = 39025 - 35000 = 4025 руб.

Наращенная сумма в 4 квартале:

FV = PV (1 + М / 12 • i) = 35000 (1 + 3/12 *0.49) = 39287.50 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = FV - PV = 39287.50 - 35000= 4287.50 руб.

Таким образом, через год необходимо вернуть общую сумму в размере 50575 рублей = 3500+3762,50+4025+4287,50+35000, из которой 35000 рублей составляет долг, а проценты – 15575 рублей.

Задача 4

Договор вклада заключен на n лет и предусматривает начисление и капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада Р руб., годовая ставка j %. Рассчитать сумму на счете клиента к концу срока.

Решение:

N= 6 лет

Р = 35000 рублей

J = 24%

Банк заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 6 лет сумма вклада - 35 тыс,руб. Процентная ставка - 24 процента, каждые полгода производится капитализация начисленных процентов.

В течение срока действия договора банк двенадцать раз (6*2) производит капитализацию начисленных процентов во вклад.

Полный срок вклада 6 лет - 2160 календарных дня (n), период начисления процентов по ставке вклада - 24 процента - 2159 календарных дня (n-1).

Порядок начисления банком процентов на сумму вклада:

- сумма вклада на первое полугодие первого года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие первого года):

35000+(35000*24%*(180/360)) = 39200

- сумма вклада на второе полугодие первого года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие первого года):

39200+(39200*24%*(180/360)) = 43904

- сумма вклада на первое полугодие второго года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие второго года):

43904+(43904*24%*(180/360)) = 49172,48

- сумма вклада на второе полугодие второго года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие второго года):

49172,48+(49172,48*24%*(180/360)) = 55073,17

- сумма вклада на первое полугодие третьего года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие третьего года):

55073,17+(55073,17*24%*(180/360)) = 61681,95

- сумма вклада на второе полугодие третьего года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие третьего года):

61681,95+(61681,95*24%*(180/360)) = 69083,78

- сумма вклада на первое полугодие четвертого года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие четвертого года):

69083,78+(69083,78*24%*(180/360)) = 77373,83

- сумма вклада на второе полугодие четвертого года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие четвертого года):

77373,83+(77373,83*24%*(180/360)) = 86658,69

- сумма вклада на первое полугодие пятого года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие пятого года):

86658,69+(86658,69*24%*(180/360)) = 97057,73

- сумма вклада на второе полугодие пятого года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие пятого года):

97057,73+(97057,73*24%*(180/360)) = 120351,58

- сумма вклада на первое полугодие шестого года (с капитализацией процентов, начисленных за первое полугодие шестого года):

120351,58+(120351,58*24%*(180/360)) = 134793,76

- сумма вклада на второе полугодие шестого года (с капитализацией процентов, начисленных за второе полугодие шестого года):

134793,76+(134793,76*24%*(180/360)) = 150969,01

Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит по истечению шести лет 150969 руб. 01 коп.

Задача 5

Владелец векселя номинальной стоимости S и сроком обращения 1 год, предъявил его банку-эмитенту для учета за 60 дней до платежа. Банк учел его по ставке d % годовьк. Определить сумму, полученную владельцем векселя и величину дисконта.

Решение:

S=15000 руб.

D% = 40%

Вексель выдан на сумму 15 тыс. руб. со сроком обращения 1 год. Владелец векселя учел его в банке по учетной ставке 40% годовых.

Определим величину суммы, выданной владельцу векселя, и величину дисконта, если К = 360 дней.

дт = 360 - 60 = 300;

P = 15000*(1 - 300/360*0,40) = 10020

D = S - P = 15000 -10020 = 4980

Таким образом владелец векселя получит 10020 рублей, величина дисконта составит 4980 рублей

Задача б

Определить значение годовой учетной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов i1 % годовых (п = 1).

Решение:

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

I 1 = 40%

N = 1, следовательно годовая учетная ставка будет равняться 40 %

Задача 7

На вклады ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой ставке j. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы S.

Решение:

j- 24%

S – 15000

Сумма вклада = 15000 + (15000*24%*1,5) = 20400

Задача 8

Банк предлагает долгосрочные кредиты под ii % с ежеквартальным начислением процентов, (ii + 2) % годовых с полугодовым начислением процентов (i, - 4) % с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Решение:

I1 = 40%

Процентная ставка при ежеквартальном начислении

I = i*4 = 40*4 =120 % годовых.

Процентная ставка при полугодовом начислении

I = (i+2)*2 = (40+2)*2 =84 % годовых.

Процентная ставка при ежемесячном начислении

I =(i-4)*12 = 40*4 =456 % годовых.

Задача 9

Банк выдает кредит под i % годовых. Полугодовой уровень инфляции составил п %. Определить реальную годовую ставку процентов с учетом инфляция.

Решение:

I = 40 %, п = 7%

Реальная процентная ставка отображает очищенную от инфляции доходность финансовых инструментов.

В ситуации, когда выплаты по депозитному вкладу или другим финансовым инструментам производятся несколько раз в течение учетного периода, доходность данных инструментов отличается от номинальной. Оценить ее позволяет эффективная процентная ставка - годовая ставка сложных процентов, используемая в качестве меры доходности финансовой операции.

Реальная годовая ставка = 40-7 = 33%

Задача 10

Какую ставку процентов по вкладам нужно назначить, чтобы реальная доходность вклада с учетом инфляции л%, составила 10 % годовых.

Решение:

Ставка процента для определения реальной доходности вклада = л%+i%, где

п% -процентная ставка инфляции = 7%

I% - процентная ставка банка = 10%

Ставка процента для определения реальной доходности вклада = 7%+10% = 17%

Задача 11

Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции п %.

Решение:

Пусть ежемесячный уровень инфляции 4%. Определим ожидаемый уровень инфляции за год

Индекс инфляции за месяц

Jτ = 1 + τ = 1 + 0,004= 1,004

Индекс инфляции за год, т.е. за двенадцать месяцев

Jτ = (1 + τ)12 = 1,00412 = 1,072

Уровень инфляции за квартал

τ = Jτ - 1 = 1,072 - 1 = 0,072

Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции составит 7,2%.

Задача 12

Вклад Р руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 48 % годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит п %.

Решение:

П%-4

Сумма вклада с процентами:

S = P * (1 + 0,48*6*0.5) = 17000* 1.26 = 21240;

Индекс инфляции за полгода, т.е. за шесть месяцев

Jτ = (1 + τ)6= 1,0046 = 1,034

Реальный доход вкладчика: D = P- S.

D = 21240-17000 = 4420

Задача 13

Договор аренды имущества заключен на 5 лет. Аренда уплачивается суммами Si = S, S2 = S + 1 000 (руб.), S3 = S + 2 000 (руб.) соответственно в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4 = S + 3 000 (руб.) в конце 2-го года и S5 (руб.) в конце 4-го года. Ставка банковского процента i2. Определить Ss.

Решение:

I2 = 7%, S = 17000

S1 = 17000

S2 = 17000+1000 = 18000

S3 = 17000+2000 = 19000

S4 = 17000+3000 = 20000

S5 = 17000+4000 = 21000

Ss = 17000+18000+19000+20000+21000 =95000

Задача 14

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке i2 % годовых для создания через 6 лет фонда в размере (S • 1000) руб.

Решение:

Современная стоимость финансовой ренты постнумерандо определяется по формулам:

Общая сумма ренты:

= 17000000*(1-(1+7)-6))/7=14571429

- ежегодные платежи = 14571429/6 =2428571

Задача 15

Рассчитать величину фонда, который может быть сформирован за 2 года путем внесения в конце каждого года сумм S руб. Проценты на вклад начисляются по ставке ц % годовых.

Решение:

Общая сумма ренты:

= 17000*(1-(1+7)-2))/7= 24285,71

Задача 16

Ежемесячная плата за квартиру составляет R рублей. Срок платежа - начало месяца. Рассчитать величину равноценного платежа взимаемого за год вперед. Ставка банковского депозита - 24% годовых.

Решение: