МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ (Методические указания для выполнения расчетного задания (ещё одни)), страница 2

В расчетном задании функциональным ограничением на множество допустимых значений параметров регуляторов предлагается выбрать запас устойчивости виде показателя колебательности М.

Частотный показатель колебательности вычисляется из выражения амплитудной частотной характеристики замкнутой АСР

(5)

где - соответственно аналитические выражения КЧХ объекта регулирования и регулятора.

Примечание. В прилагаемом к расчетному заданию программном обеспечении содержатся функции и , которые возвращают вещественные и мнимые части КЧХ, соответственно, объекта регулирования, ПИД-регулятора и замкнутой АСР. Параметрами функции являются частота, коэффициент усиления объекта и вектор постоянных времени трех апериодических звеньев. Параметрами функций и являются частота и коэффициенты усиления пропорциональной и интегральной частей ПИД-регулятора, где ki = 1/T_И.

Значением частотного показателя колебательности является максимальное значение АЧХ замкнутой АСР

(6)

где - резонансная частота это частота, на которой в замкнутой АСР происходят свободные колебания.

Примечание. В прилагаемом к расчетному заданию программном обеспечении содержатся программа-функция , которая возвращает 501 точку АЧХ в диапазоне частот от 0,001 до 5 радиан/с и функцию , возвращающую максимальное значение АЧХ – значение частотного показателя колебательности. Параметрами функций являются параметры ПИД-регулятора.

Для всех вариантов расчетного задания ограничение на запас устойчивости показатель колебательности задан М = 1,62, что приблизительно соответствует степени затухания   0,75 и степени колебательности m = 0,221.

Кроме функциональных ограничений, на параметры при настройке ПИД-регулятора требуются автономные ограничения на параметры kp и ki вида

(7)

Для доказательства необходимости ввода ограничений (7) при настройке ПИД-регулятора сделаем предварительный анализ характера функции цели задачи оптимизации при настройке ПИ-регулятора..

Рассмотрим задачу оптимизации АСР с объектом регулирования, заданным передаточной функцией

(8)

На рис. 3 показаны две плоскости параметров ПИ-регулятора. На плоскость параметров нанесены линии равных уровней оптимизируемой функции - значений интеграла по модулю (значения показаны цифрами на линиях). Оптимизируемая функция – интеграл по модулю имеет один экстремум opt с координатами kp=3,66 и ki=0,1, где значение интеграла I_mod=12,2.

Если принять, что ПИ-регулятор является частным случаем ПИД-регулятора при Td=0, то плоскость параметров ПИ-регулятора является сечением объема трехмерного ПИД-регулятора.

Легко доказать, что если вводить в закон регулирования дифференциальную составляющую, то с ростом Td зоны устойчивой работы АСР и зоны запасов устойчивости на плоскости параметров (рис. 3 а и б) будут увеличиваться в сторону больших значений kp и ki. Соответственно точка opt будет уходить в бесконечность.

Поэтому при настройке ПИД-регулятора следует ограничить kp и ki , и для них найти такое значение Td, при котором система будет иметь заданный запас.

Максимальные значения kp и ki выберем такие, чтобы АСР с ПИД-регулятором осталась устойчивой при Td =0. Это решение обусловлено надежностью АСР при отказе каналов регулятора, формирующих пропорциональную kp, интегральную ki и дифференциальную Td составляющие закона регулирования. Если kp и ki будут равны нулю, то система не потеряет устойчивость (левая нижняя точка плоскости параметров). А, если же откажет дифференциальная составляющая Td при значениях kp и ki , найденных для ПИД-регулятора, то система сразу потеряет устойчивость.

Поэтому в расчетном задании предлагается построить плоскость параметров kp и ki и Td=0. Рассчитать и нанести на плоскость линию границы устойчивости. И в качестве предельных значений kp и ki выбрать координаты верхней точки устойчивой зоны. Из рис. 3 а видно, что допустимыми диапазонами для параметров ПИД-регулятора являются

(9)

На рис. 3 б показан левый нижний угол плоскости параметров, на которую так же нанесены линии равных значений интеграла по модулю, а так же линии запасов устойчивости m = 0,109 (M = 2,7) и m = 0,366 (M = 1,62).

Рис. 3. Плоскости параметров ПИ-регулятора

На линии запаса устойчивости m = 0,366 лежит точка А, для которой значение интеграла по модулю является минимальным I_mod = 18,34. Видно, что в этой точке значение интеграла по модулю является минимальным для линии заданного запаса устойчивости m = 0,366 (М=1,62). Из этого следует что, оптимальную точку для ПИ-регулятора следует искать в левом нижнем углу плоскости, координаты которой примерно составляют 0,2 от максимального размера зоны устойчивой работы.

Примечание. В прилагаемом к расчетному заданию программном обеспечении содержится программа-функция , которая с использованием аналитического выражения КЧХ объекта регулирования на интервале частот от 0,0001 до 5 радиан/с возвращает значения kp и ki принадлежащие линии границы устойчивости при заданном значении постоянной дифференцирования Td.

Имея аналитическое выражение для вычисления значения функции цели (4) и выражения для ограничений можно приступить к решению задачи оптимизации. Искать точку, в которой интеграл (4) будет минимальным и будут выполняться ограничения можно вручную. Для этого следует установить любой, допустимый набор параметров и вычислить значение интеграла. Затем перебирать параметры до тех пор, пока не достигнете минимального значения интеграла.

В настоящее время существует множество формализованных численных алгоритмов достижения оптимального решения из начальной точки для одноэкстремальных задач оптимизации.

В расчетном задании предлагается использовать алгоритм метода деформируемого многогранника [1, разд.7.5.1 и приложение 8.3.1]. Этот алгоритм работает для одноэкстремальных безусловных задач оптимизации.

Примечание. В прилагаемом к расчетному заданию программном обеспечении содержится программа-функция , которая находит оптимальное решение для заданной в программе-функции оптимизируемой функции. Параметрами программы-функции являются x - вектор искомых переменных,  - точность решения задачи. Программа-функция переводит оптимизируемые переменные в стандартный вид. В программном обеспечении имеются программы для оптимизации ПИ- и ПИД-регуляторов.

Для преобразования условных задач с ограничениям в безусловные существует метод штрафных функций. Суть его состоит в том, чтобы в функции вычисления интеграла (4) учесть ограничения (6) и (7). Для этого в функцию (4) вводится штраф на нарушение ограничений

(10)

где а - норма штрафа.

Примечание. В прилагаемом к расчетному заданию программном обеспечении содержится программа-функция , которая формирует значение оштрафованной функции цели. Значения оптимизируемой функции при нарушении ограничений существенно возрастают, и алгоритм оптимизации стремится уходить из запрещенных зон оптимизируемого пространства.

Литература

1. Сабанин В.Р., Смирнов Н.И. Основы анализа автоматических систем регулирования в теплоэнергетике. Учебное пособие. М.: МЭИ. 2006. 285 с.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

Для выполнения расчетного задания предоставляется программное обеспечение для Mathcad 2000 в виде файла «RZ2006.mcd».

Текст программы сформатирован на страницы. В тексте зеленым цветом выделены поля для ввода данных. Страницы, предназначенные для вывода в отчет выделены желтым цветом.

Последовательность расчета определена программным обеспечением. Рекомендуется в Mathcad установить ручной режим счета.

Отчет по расчетному заданию должен состоять:

• из титульного листа;

• листа с технологическим содержанием расчетного задания;

• листа с исходными данными;

• листов твердых копий отмеченных программном обеспечении страниц;

• листа с выводами.

Вопросы на зачете: - по приведенному в методических указаниях материалу и результатам расчета.

Рекомендации.

1. Файл «RZ2006.mcd» содержит решение тестовой задачи. Изучите ее.

2. Для собственного расчета сделайте копию файла и работайте с ней. Представленный Вам файл не нарушайте. В процессе расчета Вам могут понадобиться некоторые подробности, о которых будете справляться в тестовой задаче.

3. Работа программы оптимизации Opt(x,,Sqr) и расчет поверхностей требуют времени, не прерывайте задачи, ждите.

4. Форматы поверхностей отклика и 3D-графиков не изменять.

5. На остальных графиках установить требуемые для Вашего варианта масштабы осей в целых (5,10 и т.д.) числах.

6. Графики выполнять с сетками. Ячейки сеток должны быть кратными масштабам осей.