84415 (Основные понятия и решения моделирования)

Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК

г. Кропоткин программирования

Председатель ПЦК

Покалицына О.В.

План

чтения лекции по учебной дисциплине

«Математические методы»

Раздел № 1. Математические модели и их виды.

Тема № 1.1. Основные понятия и определения моделирования.

Занятие № 1-2.

Учебные и воспитательные цели: изучить основные понятия моделирования: операция, решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.

Время 15-40 – 17-00.

Место проведения: аудитория.

Учебные вопросы: Введение. Оптимальное решение. Основные понятия и определения оптимизации. Постановка задачи оптимизации в общей форме.

Литература:

1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.

2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001

Учебные вопросы и расчет времени

№п/п	Учебные вопросы	Время, мин	Методические указания
1. 2. 3. 4.	Введение. Оптимальное решение. Основные понятия и определения оптимизации. Постановка задачи оптимизации в общей форме.

1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования.

2. Основная часть.

Введение.

Человек всегда принимал решения и всегда хотелось, чтобы они были правильными, оптимальными.

Предмет математические методы тесно переплетается с математическим моделированием, исследованием операций, так как в исследовании операций и математическое моделирование практически всегда используются математические методы решения задач, моделирования систем и анализа их характеристик.

Исследование операций – это использование математических и количественных методов для обоснования решения.

Исследование операций решает типичные экономические задачи:

1. План снабжения предприятия сырьем.

Задача. Имеется n предприятий, m баз с ресурсами, запасы каждой базы ограничены. Требуется разработать план снабжения предприятия сырьем при минимальных расходах при перевозке.

1. Закладка дороги.

Задача. Имеется заданное количество рабочих, машин, транспорта. Требуется спланировать строительство дороги в минимально возможные сроки.

1. Продажа сезонных товаров.

Задача. Для реализации сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется определить их число, размещение, запасы, количество персонала для получения максимальной прибыли.

1. Контроль продукции.

Задача. Выпускается определенный вид продукции. Для контроля качества организуется выборочная проверка. Требуется определить размер партии и правила проверки при минимальных расходах на контроль.

Оптимальное решение.

Оптимизация – это выбор наилучшего решения. Математическая теория оптимизации включает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полного перебора и сравнения.

Принятие оптимальных решений базируется на «трех китах»:

• Математической модели;

• Решение задачи на компьютере;

• Исходных данных.

Математическое моделирование имеет два существенных преимущества: дает быстрый ответ на поставленный вопрос, предоставляет возможность широкого экспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастую невозможно. Для решения оптимизационных задач используются количественные методы решения. Применяют математический аппарат разной степени сложности: простые алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных.

Алгоритмы задач принятия решений настолько сложны, что без компьютера решить их невозможно.

Исходные данные определяют успех дела в целом.

1. Основные понятия и определения оптимизации.

Операция – это мероприятие, направленное на достижение какой-то цели.

РЕШЕНИЕ – это определенный набор зависящих от нас параметров и действий.

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ – это решение более предпочтительное перед другими по некоторому критерию.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕШЕНИЯ – это те параметры, которые образуют решение задачи.

ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ – это некоторые количественные критерии, по которым сравнивают решения между собой, его называют целевой функцией. Обозначается W.

Примеры выбора показателя эффективности.

Задача 1: если Р – суммарные расходы на перевозку сырья, то показатель эффективности Р → min.

Задача 2: среднее ожидаемое время окончания стройки Т, тогда показатель эффективности Т → min.

Задача 3: П – прибыль от реализации продукции, критерий эффективности Т → max.

В большинстве задач на практике критерий эффективности выбрать очень сложно, так как эффективность в реальной жизни определяется не одним критерием, а нескольким.

Все задачи можно разделить на прямы и обратные.

ПРЯМЫЕ задачи отвечают на вопрос: что будет, если в заданных условиях выбрать некоторое решение Х.

ОБРАТНЫЕ задачи отвечают на вопрос: какое решение Х надо выбрать, чтобы показатель эффективности W был max или min.

1. Постановка задачи оптимизации в общей форме.

Пусть имеется некоторая операция О, на успех которой можно влиять, выбирая некоторым способом, решение Х, эффективность операции характеризуется одним показателем W → max. Когда все условия операции О определены заранее, то все факторы, от которых зависит успех операции делятся на две категории: заданные, заранее известные факторы α; зависящие от нас элементы решения, которые образуют решения х.

Показатель эффективности зависит от обеих групп факторов и выражается формулой:

W = W(α, x), (*)

в общем случае α, x – векторы (совокупность чисел). Если зависимость (*) известна, то прямая задача решена.

Обратная задача формулируется так: при заданном комплексе условий α требуется найти такое решение х = х^*, которое обращает показатель эффективности W в max.

W^* = max{W(α, x)}, где W^*- мах. W^* - это максимальное значение эффективности при найденном оптимальном решении х^*.

Решение задачи оптимизации.

Метод поиска экстремума и оптимального решения х^* ведется, исходя из особенностей функции W и вида ограничений, накладываемых на решение. Если W и ограничения линейные, то имеем задачу линейного программирования, которая решается стандартным методом (симплекс методом). Если W – выпукла функция, то применяют метод выпуклого программирования. Для многоэтажных задач используют метод динамического программирования. Для решения многомерных задач применяют численные методы.

5. Выбор решения в условиях неопределенности.

Реальные задачи чаще всего создают неизвестные факторы е. В этом случае показатель эффективности зависит от трех групп факторов: W = W(α, x, е). Наличие неопределенных факторов е превращает задачу оптимизации в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.

Задача 1. планируется ассортимент товаров для распродажи на ярмарке. Требуется получить максимальную прибыль. Неизвестно количество покупателей, их потребности.

Задача 2. проектируется система сооружений от паводков. Неизвестны моменты наступления и размеры.

Виды неопределенности.

1. неизвестный фактор е – случайная величина, статистические характеристики которой известны или могут быть получены, тогда имеем стохастическую задачу со стохастической неопределенностью.

Например: организуется работа магазина с целью повысить количество обслуживаемых покупателей, но неизвестны их количество, время посещения, требуемые товары, время обслуживания. Однако, все эти характеристики можно получить.

1. неизвестный фактор е не может быть получен и описан статистическим методами, тогда имеем не стохастическую неопределенность.

Например: проектируется информационно-вычислительная система для обслуживания случайных потоков запросов. Время существования запросов, их количество неизвестны, а получить вероятностные характеристики невозможно, так как система еще не создана.

В ситуациях с не стохастической неопределенностью полезно проводить предварительные расчеты. Кроме этого используют метод экспертных оценок, который используется в задачах прогнозирования. Его суть состоит в том, что вероятность события предлагают оценить экспертам, ответы обрабатывают как статистический материал. Полученные данные позволяют свести неопределенность к стохастической.