lectures (Матричный анализ), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Матричный анализ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "lectures"
Текст 2 страницы из документа "lectures"
ЧТД.
Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax)i – i-я координата вектора Ах.
. Из определения следует, что и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение , что .
Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество , такое .
Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим . По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому т.е. для .
Обозначим через наибольшее число, для которого , . – спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что .
Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).
Интерес к числу r объясняется следующим результатом.
Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.
Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.
Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:
-
А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;
-
существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.
-
собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.
Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.
Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.