referat (Математические основы теории систем), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Математические основы теории систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "referat"
Текст 2 страницы из документа "referat"
Если один из этих векторов обозначить буквой х, то другой будем обозначать х и называть транспонированным вектором.
n
(10) х=(х(i)) =(х(1),...,х(n))
1
Число n компонент вектора называется его размерностью.
СВОИСТВА ВЕКТОРОВ.
а) х=у, если равны их компоненты:
x(i)=y(i)
x(1) y(1) x(1)+y(1)
б) х+у= ...... + ...... = ........... -сумма векторов.
x(n) y(n) x(n)+y(n)
в) Разность векторов х-у представляет собой вектор z, такой, что у+z=х.
г) умножение вектора на скаляр
x(1) αx(1)
αx=хα=α ....... = .........
x(n) αx(n)
СКАЛЯРНОЕ ПРИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
x1 y1
Пусть х= х2 и у= у2 два вектора в трех мерном
x3 y3
пространстве. Скалярным произведением этих векторов называют скалярную величину:
( 11) хTу=уTх=х1у1+х2у2+х3у3
Нормой или длинной вектора х в евклидовом пространстве называют число:
(12) х = х =(хTх)½ , где х -норма вектора х.
Линейное пространство в котором определено скалярное произведение называется евклидовым пространством.
БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
Пусть имеем систему векторов
(13) х1, х2, х3,..., хn
Базисом (базой) системы векторов (13) называется такая линейно-независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы.
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ.
П усть х=(х1, х2) и у=(у1, у2) - два вектора на плоскости. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с направлением вектора х, так что x1= x , х1 =0 (рис.3)
2
y2 y
α x
y1 1
о бозначим через угол α между векторами х и у при этом
хTу=х1у1+х2у2= х * у cosα
Угол между векторами определяется:
α=arccos(xTy/ x y )
при │х│=1 скалярное произведение хTу определяет проекцию вектора у называется ортогональным, если угол между ними равен 90○, т.е.
если хTу=0.
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
ПОНЯТИЕ МАТРИЦ.
Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа
a11 .......... a1n
A= ...................... =[aij]
am1 .......... amn
Если m=n, то матрицу называют квадратной.
Матрицы А=[аij] и В=[вij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер аij=вij для всех ij.
Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y:
(1) А:Х→Y
Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор
(2) Y=А-х, пространства Y.
Преобразование А называют линейным, если выполняется условие:
(3) А(х1+х2)=Ах1+Ах2, А(ℷхi)=ℷАх
Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хi и уj векторов х и у имеется линейная зависимость вида:
n ___
(4) у(i)= ∑ aijx(j), i=1,m ,где аij - произвольное число
j=1 ____ ___
Совокупность чисел аij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу:
a11......a1n
A= ................ = [aij]
am1......amn
к оторую называют матрицей линейного преобразования.
у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор:
y(1) a11......a1n x(1)
(5) .... = ............... * .....
y(n) am1......amn x(n)
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.
Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число.
(6) αА=[α аij ]
При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число.
СУММА МАТРИЦ.
Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[aij] и В=[вij] размером m*n.
Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y
(7) у+v=Ах+Вх=(А+В)х
Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или:
(8) А+В=[aij]+[вij]
При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ.
Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[вkj] и A=[aik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz.
(9) Z=Cx=A(Bx)=ABx
Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В.
n ___ ___
(10) Сij= ∑ аikвkj , i=1,n , j=1,m
k=1
Согласно (10) элемент Сij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде:
a11...a1k в11...в1m
(11) АВ= ............ * .............
an1...ank вk1....вkm
ТРАНСПОНИРОВАНАЯ МАТРИЦА.
Пусть А=[aij] - матрица размером m*n. Матрица АT=[а'ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А.
Элемент а'ij матрицы АT определяют по элементам аij матрицы А из соотношения:
(12) а'ij=аji
ОСОБЕННОСТИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.
В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов aij этой матрицы и обозначают det A.
Определитель det A обладает следующими свойствами:
1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ;
2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;
3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;
4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;
5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА-КЕЛЛИ.
Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.
(13) det (A-ℷI)=a0ℷn+a1ℷn-1+...+an-1ℷ an=0
(14) a0An+a0An-1+an-1A+anI=0[n*n]
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А-1 того же размера, для которой справедливо соотношение:
(15) А*А-1=А-1*А=Е
Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[xij]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А-1у. Матрицу А-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.
(16) А-1=(1/detA) [Aij]T , где Аij - алгебраическое
дополнение элемента а в определителе матрицы.
Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.
ДИАГАНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ.
Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.
Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование:
(17) В=С-1*А*С
Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.
ℷ1 0 0
(18) diag[ℷ1 ℷ2 ......ℷn ]= 0 ℷ2 0
0 0 ℷn
Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:
m n
(19) │А│= ∑ ∑ │a ij │
i=1 j=1
При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.
Эти матрицы имеют вид:
a11(t) a12(t) ...... a1n(t)
(20) А(t)= a21(t) a22(t) ...... a2n(t)
............................
am1(t) am2(t) ..... amn(t)
и называются функциональными матрицами.
Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:
da11(t)/dt da12(t)/dt ...... da1n(t)/dt
(21) А(t)= dA(t)/dt = ............................................................. =
dam1(t)/dt adm2(t)/dt ...... damn(t)/dt
=[daij(t)/dt]
1.3 ПОНЯТИЕ ДИНАМЧЕСКОГО ОБЬЕКТА.
Физический объект - физическое устройство, характеризуемое некоторым числом свойств, соответствующих целям его использования.
В теории систем существенным является не физическое, а математическое описание свойств объекта и соотношений между ними. В теории систем объектом А является абстрактный объект, связанный с множеством свойств, который обычно характеризуется числами или набором чисел. Таким образом, фактически абстрактный объект или просто объект представляет собой множество переменных вместе с отношениями между ними.
Вспомогательные определения и понятия:
v1, v2,...- основные переменные объекта А.
Основное уравнение - соотношение между основными переменными.
(1) A(1)(v1,..., vn)=0 Основное уравнение объекта A,
A(2)(v1,...., vn)=0 где A(j), j=1,..., m
..................... vi , i= 1,..., n
A(m)(v1,..., vn)=0 m и n - конечные числа
Если абстрактный объект A определяется соотношениями (1) без каких - либо указаний, какие переменные являются входными (причина), а какие - выходными (следствия), то A будем называть неориентированным объектом.
Если основные переменные подразделены на две группы - входные и выходные переменные, играющие роль независимых и зависимых, то A будет называться ориентированным объектом.
Состояние объекта A в момент t0 может рассматриваться как параметр S(t0), связанной с каждой парой вход-выход
(U[t0, t], Y[t0, t]), таким образом, что Y[t0, t] единственным образом определяется заданием U[t, t] и S(t0).
Иначе говоря, состояние объекта в момент t0 есть некоторый набор чисел, представленный, например, вектором α, который изменяется в пространстве ∑ так, что знание (1)α, (2) - уравнения вход-выход для объекта и (3) - входа U[t0,t]] является достаточным для однозначного определения входа y[t0,t].
S(t0) - называется состоянием объекта в момент t0.
[t0,t]- интервал наблюдаемости