СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

­­­­­­­­­­­­­­­__________________________________________________

Содержание.

1. Задача № 2…………………………………………………………3

2. Задача № 3…………………………………………………………7

3. Список литературы……………………………………………...12

ЗАДАЧА 2 Вариант – 18

1. Условие задачи.

Требуется перевезти товары с трёх складов в четыре магазина. Дан­ные о наличии товаров на складе, спрос на него в магазинах, а также стои­мости перевозки единицы груза между складами и магазинами приведены в таблице. Составить план перевозки, чтобы затраты были минимальными.

1. Построение математической модели.

Пусть X ij – количество деталей, отправленных со склада i в магазин j, а C ij – стоимость перевозки одной детали со склада i в магазин j. Очевидно, что X ij > 0 и C ij > 0.

В силу ограничений на возможность поставки товара со склада и спрос в магазинах величина X ij должна удовлетворять следующим условиям:

X 11 + X 12 + X 13 + X 14 = 25

X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 45 (1)

X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 30

X 11 + X 21 + X 31 = 30

X 12 + X 22 + X 32 = 10 (2)

X 13 + X 23 + X 33 = 30

X 14 + X 24 + X 34 = 30

Общая стоимость перевозок равна:

Z = C ij X ij = 21* X 11 + 36* X 12 + 28* X 13 + 21* X 14 + 25* X 21 +

35* X 22 + 26* X 23 + 25* X 24 + 23* X 31 + 21* X 32 + 27* X 33 + 21* X 34,

т.е. Z = C ij X ij. (3)

Необходимо определить такие неотрицательные значения переменных X ij, которые удовлетворяют ограничениям (1) и (2) и обращают в минимум целевую функцию Z (3). В такой постановке задача является транспортной задачей линейного программирования.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является условие баланса:

S i = M j

Где, S i = X ij – cуммарное количество деталей на складах;

M j = X ij – суммарное количество деталей, требуемое в

магазинах.

В данной задаче S i = M j = 100,

Следовательно, задача с балансом.

1. Решение задачи.

Решение задачи состоит из двух этапов:

1. Определение допустимого решения.

2. Определение оптимального решения путём последовательного улучшения допустимого решения методом потенциалов.

Определение допустимого решения методом наименьшей стоимости.

На основе исходной таблицы построим вспомогательную таблицу (в

верхнем правом углу каждой клетки будем записывать стоимости перевозки). Введём в таблицу вспомогательную строку и столбец для записи остатков.

Определим наименьшую стоимость перевозки:

X 14 = min (25, 30) = 25

X 32 = min (30, 10) = 10

X 34 = min (20, 5) = 5

X 31 = min (15, 15) = 15

X 21 = min (45, 15) = 15

X 23 = min (30, 30) = 30

Стоимость перевозки Z = 25*21 + 25*15 + 30*26 + 15*23 + 10*21 + 5*21 = 2340 усл. ед.

Последовательное улучшение допустимого решения методом потенциалов.

Выберем вспомагательные переменные U i и V j, обращающие в нули коэффициенты при базисных переменных, то есть

C ij – U i – V j = 0 (4)

Такие переменные называются потенциалами. Выполним следующие действия:

1. Для всех X ij > 0 (т. е. для всех занятых клеток) составим потенциальные уравнения:

C 14 – U 1 – V 4 = 0 21 – U 1 – V 4 = 0

C 21 – U 2 – V 1 = 0 25 – U 2 – V 1 = 0

C 23 – U 2 – V 3 = 0 26 – U 2 – V 3 = 0 (5)

C 31 – U 3 – V 1 = 0 23 – U 3 – V 1 = 0

C 32 – U 3 – V 2 = 0 21 – U 3 – V 2 = 0

C 34 – U 3 – V 4 = 0 21 – U 3 – V 4 = 0

Для определения m + n потенциалов необходимо, чтобы было m + n – 1 уравнений (где m – число строк, n – число столбцов). Тогда одному из потенциалов можно присвоить любое значение, например равное нулю, а значения других потенциалов получить, решая систему уравнений (5).

Для данной задачи m + n – 1 = 6 и число занятых клеток равно 6.

U 1 = -2

U 2 = 0

U 3 = -2

V 1 = 25 V 2 = 23 V 3 = 26 V 4 = 23

1. Решим систему уравнений 4, присвоив значение, равное нулю, наиболее часто встречающемуся неизвестному индексу: U 2 = 0, тогда

V 1 = 25; U 1 = -2;

V 2 = 23; U 2 = 0;

V 3 = 26; U 3 = -2.

V 4 = 23;

Занесём данные в таблицу выше.

1. Для всех небазисных переменных, т. е. для X ij = 0 (для пустых клеток), определим невязки:

G ij = C ij – S ij, где S ij = U i + V j.

G 11 = C 11 – U 1 – V 1; G 11 = 27 – (-2) – 25 = 4;

G 12 = C 12 – U 1 – V 2; G 12 = 36 – (-2) – 23 = 15;

G 13 = C 13 – U 1 – V 3; G 13 = 28 – (-2) – 26 = 4; (6)

G 22 = C 22 – U 2 – V 2; G 22 =35 – 0 – 23 = 12;

G 24 = C 24 – U 2 – V 4; G 24 = 25 – 0 – 23 = 2;

G 33 = C 33 – U 3 – V 3; G 33 = 27 – (-2) – 26 = 3.

Отрицательных невязок нет, значит найденный план (см. таблицу выше) оптимален и значение целевой функции является минимальным.

Таким образом, минимальная стоимость перевозок Z равна 2340 усл. ед. и достигается при объёмах перевозок:

X 14 = 25, X 21 = 15, X 23 = 30, X 31 = 15, X 32 = 10, X 34 = 5.

ЗАДАЧА 3

1. Условие задачи.

Фирма должна наладить перевозку продуктов с базы в 7 магазинов. Сеть дорог, связывающая базу и магазины между собой, а также длины участков дороги между каждой парой соседних пунктов представлены на рисунке.

Определить кратчайшие пути от базы до каждого из магазинов.

Х 4

Х 1 Х 7 Х 5

Х 3

Х 2

Х 8

Х 6

1. Построение математической модели.

Пусть G(A, U) – граф, где A – множество вершин, означающих объекты (базу – вершина 1, а магазины – вершины 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), U – множество рёбер, означающих возможную связь между двумя вершинами. Каждому ребру поставлено в соответствие некоторое число L ij (i, j = 1, 2,…, 8 – вес ребра (расстояние между двумя вершинами).

Задача отыскания кратчайшего пути из вершины i в вершину j заключается в минимизации целевой функции:

Y = L i X ij ,

где X ij = 1, если путь проходит из вершины i в вершину j,

X ij = 0, в противном случае.

Данная функция определяет длину между заданной начальной и конечной вершинами.

При этом должны выполняться следующие условия:

(X ij – X ji) = 0, i = 2, 3,…,m – 1

(т. е. для любой вершины i, исключая начальную и конечную, число путей, входящих в эту вершину, равно чису путей, выходящих из неё);

(X 1j – X j1) = 1.

(т. е. в последнюю вершину входит на один путь больше, чем выходит);

(X mj – X jm) = 1.

(т. е. количество путей, входящих в вершину 1, превышает на единицу число путей, выходящих из неё).

Необходимо определить такие значения X ij, равные 0 или 1, которые

доставят минимум целевой функции Y при соблюдении условий, заданных ограничениями.

Данная задача является задачей о кратчайшем пути и может быть

решена индексно – матричным методом.

1. Решение задачи.

Составим матрицу весов графа, представленного на рисунке. Эле-

мент L ij этой матрицы равен весу ребра, если вершины i и j связаны между собой ребром, и бесконечности – в противном случае. Диагональные элементы также равны бесконечности, так как граф без петель. Для наглядности в матрицу весов бесконечности записывать не будем, оставляя соответствующие им клетки пустыми.

Добавим к составленной таким образом матрице нулевую строку и

нулевой столбец, в которые будем записывать соответственно индексы столбцов и строк U i и V j (U i – расстояние от вершины 1 до вершины i, V j – расстояние от вершины 1 до вершины j). Тогда матрица весов будет иметь вид, представленный в таблице ниже.

Для вычисления индексов выполним следующие действия:

1. Положим U 1 = V 1 = 0/

2. Значения всех заполненных клеток первой строки перенесём на

соответствующие места индексов столбцов V j и строк U i , т. е. V 2 = 8, V 3 = 10, V 4 = 10, V 7 = 12, U 2 = V 2 = 8, U 3 = V 3 = 10, U 4 = V 4 = 10, U 7 = V 7 = 12 (смотрите таблицу ниже)

1. Определим недостающие индексы V j. В нашем примере это индексы

V 5, V 6 и V 8. Для этого в каждом столбце, соответсвующем неизвестному индексу V j, просмотрим заполненные клетки и вычислим недостающие индексы по формуле V j = U i + L ij, если для них известны индексы U i.

Для столбца, соответствующего индексу V 5, этими элементами будут L 4, 5 = 16 и L 7, 5 = 25. Значения U 4 и U 7 известны: U 4 = 10, U 7 = 12.

Следовательно,

V 5 = min(U 4 + L 4, 5 = 10 + 16 = 26; U 7 + L 7, 5 = 12 + 25 = 37) = 26.

Для столбца, соответствующего индексу V 6, ими будут L 2, 6 = 7, L 3, 6 = 17, L 7, 6 = 18. Значения индексов U 2, U 3, U 7 известны: U 2 = 8, U 3 = 10, U 7 = 12. Следовательно,

V 6 = min(U 2 + L 2, 6 = 8 + 7 = 15; U 3 + L 3, 6 = 10 + 17 = 27;

U 7 + L 7, 6 = 12 + 18 = 30) = 15.

Для столбца, соответствующего индексу V 8, ими будут L 5, 8 = 17, L 6, 8 = 13, L 7, 8 = 19. Значения индексов U 5, U 6, U 7 известны: U 5 = 26, U 6 = 15, U 7 = 12. Следовательно,

V 8 = min(U 5 + L 5, 8 = 26 + 17 = 43; U 6 + L 6, 8 = 15 + 13 = 28;

U 7 + L 7, 8 = 12 + 19 = 31) = 28.

Запишем их в строку V i (смотрите таблицу ниже).

1. Все индексы найдены. Проверим полученное решение на

оптимальность, т. е. выполнение условия L ij >= V j – U i для каждой заполненной клетки матрицы.

Для всех заполненных клеток условие L ij >= V j – U i соблюдается. Полученное решение является оптимальным. Следовательно, минималь­ными расстояниями от вершины 1 до всех остальных будут:

V 2 = 8, V 3 = 10, V 4 = 10, V 5 = 26, V 6 = 15, V 7 = 12, V 8 = 28.

Определим кратчайший путь от вершины 1 до вершины 5. Для этого в столбце 5 найдём элемент, значение которого равно разности индексов столбца и строки L ij = V j – U i :

L 4, 5 = V 5 – U 4 = 26 – 10.

L 4, 5 – последнее звено пути и, соответственно, вершина 4 – предпоследняя.

И далее, в столбце 4 определим:

L 1, 4 = V 4 – U 1 = 10 – 0 = 10.

L 1, 4 – первое звено пути, так как вершина 1 является начальной фиксированной.

Таким образом, имеем минимальный путь от вершины 1 до вершины 5, проходящий через вершины 1, 4, 5, длина которого равна 26.

---- 11 ----