84357 (Математическая теория захватывания), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Математическая теория захватывания", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84357"
Текст 2 страницы из документа "84357"
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых )
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.
Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin 1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения .
Получим дифференциальное уравнение для х:
А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая .
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если > 1, т.е. о > 1, то разность фаз равна 0, если < 1, то разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.
Или преобразовав их, получим следующее:
Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и фазы для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, > 0. Считаем b и через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.
a0 - является общим корнем уравнений
Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: = aо 2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) 2о << 1; = о Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).
Список литературы
-
Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
-
Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
-
Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.
13