FINISH (Конспект лекций по дискретной математике)

Приложение Булевой алгебры к синтезу комбинационных схем

Двоичная система логики:

1. Элементы Булевой алгебры:

а) числа

b) переменные

с) операции

d) выражения

e) функции

f) законы

А) Числа:

Два числа: логический ноль и логическая единица в Булевой алгебре отождествляются с понятиями “истина” и ”ложь”.

В) Переменные:

Булевы (логические, двоичные) переменные называются переменными, принимающими значение из множества - ноль и единица.

С) Операции:

1. Отрицание (инверсия).

2. Конъюнкция (логическое умножение).

3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Унарной является операция отрицания.

Обозначения:

1. Отрицание , ù x

2. Конъюнкция a&b, a·b, ab, aÙb

3. Дизъюнкция aÚb

D) Выражения:

Переменные, знакооперации, соединенные вместе при возможном наличии скобок для задания порядка выполнения операций.

Приоритет задается порядком операции.

Е) Функции:

Булевой (логической) функцией называется такая функция, аргументами которой являются булевы переменные, и сама функция принимает значение из множества ноль и единица.

Областью определения Булевой функции является совокупность 2ⁿ двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как n-компонентный двоичный вектор.

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)

2. Табличная (в виде таблицы истинности)

3. Графическая

4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)

5. Числовая

6. Символическая форма

1) Аналитическая:

_ _

y=(x₁ Ú x₂) x₃

_ _ _ _ _ _

y=x₁ x₂ x₃ Ú x₁ x₂ x₃ Ú x₁ x₂ x₃

2) Табличная:

Переход от аналитической к табличной однозначен! Обратный переход не является однозначным.

Основные законы (тождества)

1) ab=ba

aÚb=bÚa

2) Ассоциативный:

a(bc)=(ab)c

aÚ(bÚc)= (aÚb) Úc

3) Дистрибутивный:

a(bÚc)=abÚac

aÚ(bc)=(aÚb)(aÚc)

4) Закон двойного отрицания:

=

a=a

5) Тавтологии:

aa=a

aÚa=a

6) Законы нулевого элемента:

a0=0

aÚ0=a

7) Законы единичного элемента:

а1=а

аÚ1=1

8) Законы дополнительного элемента:

_

В Булевой алгебре дополнительным элементом к а является а.

_ _

аÚа=1; аа=0

9) Двойственности (деМоргана):

__ _ _

ab=aÚb

___ _ _

aÚb=a b

Cледствия: ab=aÚb; aÚb=a b

10) Поглощения:

aÚab=a

a(aÚb)=a

11) Сокращения:

_

аÚаb=aÚb

_

a(aÚb)=ab _ _ _ _

Cледствия: aÚab=aÚb; a(aÚb)=ab

12) Склеивания:

_ _

abÚab=a; (aÚb)(aÚb)=a

Комментарии:

1) Для доказательства законов можно использовать:

а) Метод совершенной индукции.

б) Использование одних законов для доказательства других законов.

Метод совершенной индукции состоит в доказательстве эквивалентности левой и правой части на всем множестве наборов аргументов. Для этого составляется таблица истинности.

2) Большинство законов задается парой соотношений, при этом одно соотношение можно получить из другого заменив операции конъюнкции на дизъюнкцию или дизъюнкцию на конъюнкцию (метод не применим в законах, в которых участвуют константы). С константами же константы заменяются на противоположные значения. (Дуальность законов Булевой алгебры)

3) Некоторые законы можно распространять на произвольное число элементов.

4) В любом законе можно заменить любую букву на произвольное логическое выражение.

5) Законы применяются для упрощения Булевых функций.

Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.

2. Возможные функции от двух переменных.

Определение: Булева функция от n аргументов fⁿ(x) называется вырожденной по аргументу x_i, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство: