Общеобразовательная муниципальная

средняя школа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Автор работы:

Андреева Елена Валерьевна

ученица 11 «б» класса

Научный руководитель:

Солдаткина Клавдия Дмитриевна

Учитель математики

Город Кузнецк, 2004 год

ПЛАН.

І. Объект исследования.

ІІ. Цель исследования.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

ІV. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра.

V. Использованная литература.

І. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

О О

А В

А В

С С

Рис. 1 Тетраэдр. Рис. 2 Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

А А

В В

О О

С

Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямоугольного

трёхгранного угла, тетраэдра.

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.

ІІ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

SОАВ= S1 SABC= S

SOBC= S2 SOAC= S3 В

Доказать: О

D

S²=S1²+S2²+S3²

С

Доказательство.

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BCAD

SOBC=1/2 BCOD

SOAB =1/2 OAOB

SOAC=1/2OAOC

S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²OD²+OA²OB²+OA²OC²)=

=1/4(BC²OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²OD²+OA²BC²), т.к.

ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²AD² , т.к.

OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

где а , b , с - катеты. В

АВ, ВС и АС- гипотенузы а

Доказать: b

АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с²)

Доказательство. О

АВ² = а² + b ² с С

ВС² = b ² + с² (по теореме Пифагора)

АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

а , b , с - катеты. В

Доказать: а b

V=(1/6) а · b · с

Доказательство. О С

с

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b ·.с

Имеем V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.

1. Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

_______________

h = (a۰b۰c)/√a²·b² + b²·c² + a²·c²

где a, b, c – катеты тетраэдра

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с катеты Д

ОД = h – перпендикуляр к грани

АВС а

h В

Доказать: b

____________ О

h = (a·b·c) / √a²b²+b²c²+a²c² с С

Доказательство.

Объем тетраэдра:

V = (1/3)S_АВС·h

C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

Следовательно,

h = (abc) / (2S_АВС)

Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

___________________

S_АВС = √Ѕ²_ОАВ + S²_ОВС + S² _ОАС

____________

т.е. S_АВС = (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

Следовательно,

____________

h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

1. Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

____________

cos α = h / a= (bc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

сos β = h / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = h / c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²

где a, b, c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты

ОД = h – нормаль к грани АВС А

Доказать: Д

____________

c os α = (bc) / √a²b² +b²c² +a²c² h

____________ а В

cos β = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c² α b

____________ β

cos γ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c² γ

С

О с

Доказательство.

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

____________

Поскольку h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

Аналогично:

____________

cos β = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

1. Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

________

R = ( ½) · √a²+b²+c²

где a, b, c – катеты тетраэдра

К L

Дано:

ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты

R – радиус сферы, описывающей

тетраэдр.

Доказать: а

_______ В Д

R = (1/2)√a²+b²+c² b

О

Доказательство. с С

На базе прямоугольного тетраэдра

ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:

_______ _____ ________

КС = D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

_______

R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

что и требовалось доказать.

VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

abc

r = ____________ ,

√a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

где a, b, c - катеты тетраэдра.

Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О₁ – центр вписанной сферы

r - радиус вписанной сферы

Доказать:

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О₁Д перпендикулярна гипотенузной грани и О₁Д = r.

_ _

Пусть d_o - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |d_о| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

__

Найдем проекцию вектора ОО₁ с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __

ОК = |ОО₁|cosδ , где δ – угол между вектором ОО₁ и вектором нормали.

___ __ _ __ _

|OO₁|cosδ = (OO₁·d_o) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО₁·d_о) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда h = OK + KH, т.е.

h = |OO₁|cosδ + r, т.к. КН = r

(поскольку КНДО₁ является прямоугольником).

Имеем

h = r cosα + r cosβ + r cosγ + r

т.е.

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

____________

(abc)/√ a²b²+b²c²+a²c² abc

r = ____________ = ____________ ,

1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c² √a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

1. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

А

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = а – а

к атеты В

Доказать, что гипотенузная а

грань является правильным

т реугольником и косинусы О Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными а

гранями равны С

___

√1/3