Kursovik_ISP (Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности), страница 3

Очевидно, для того чтобы записать двойственную задачу, сначала необходимо систему ограничений исходной задачи привести к виду (1.12). Для этого второе неравенство следует умножить на -1.

Двойственная задача. Найти максимум линейной функции f = 2y₁+ 3y₂ + 6y₃ + 3y₄ при ограничениях

2 y₁ - y₂ + y₃ + 2y₄  1,

2y₁ + y₂ + y₃ + y₄  2,

-y₁+ 4y₂ - 2y₃ - 2y₄  3,

Для решения исходной задачи необходимо ввести четыре дополни­тельные переменные и после преобразования системы - одну искус­ственную. Таким образом, исходная симплексная таблица будет состо­ять из шести строк и девяти столбцов, элементы которых подлежат преобразованию.

Для решения двойственной задачи необходимо ввести три допол­нительные переменные. Система ограничений не требует предваритель­ных преобразований, ее первая симплексная таблица содержит четыре строки и восемь столбцов.

Двойственную задачу решаем симплексным методом (табл. 1.3).

Оптимальный план двойственной задачи Y* = (0; 1/2; 3/2; 0), f_max = 21/2.

Оптимальный план исходной задачи находим, используя оценки (m + 1)-й строки последней итерации, стоящие в столбцах A₅, A₆, A₇ : x₁ = 3/2 + 0 = 3/2; x₂ = 9/2 + 0 = 9/2; x₃ = 0 + 0 = 0. При оптимальном плане исходной задачи X* = (3/2; 9/2; 0) линейная функ­ция достигает наименьшего значения: Z_min =21/2.

Т а б л и ц а 1.3

4. Виды математических моделей двойственных задач

На основании рассмотренных несимметричных и симметричных двойственных задач можно заключить, что математические модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов.

Н е с и м м е т р и ч н ы е з а д а ч и

(1) Исходная задача Двойственная задача

Z_min = CX; f_max = YA₀;

AX = A₀; YA  С.

X  0.

(2) Исходная задача Двойственная задача

Z_max = CX; f_min = YA₀;

AX = A₀; YA  С.

X  0.

С и м м е т р и ч н ы е з а д а ч и

(3) Исходная задача Двойственная задача

Z_min = CX; f_max = YA₀;

AX  A₀; YA  С.

X  0. Y  0.

(4) Исходная задача Двойственная задача

Z_max = CX; f_min = YA₀;

AX  A₀; YA  С.

X  0. Y  0.

Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду. Запишем, например, математиче­скую модель двойственной задачи для следующей исходной.

Найти минимальное значение линейной функции Z = 2x₁ + x₂ + 5x₃ при ограничениях

x ₁ – x₂ – x₃  4,

x₁ – 5x₂ + x₃  5, x_j  0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ 6,

Рассматриваемая задача относится к симметричным двойственным задачам на отыскание минимального значения линейной функции. Для того чтобы было можно записать двойственную задачу, ее модель долж­на иметь вид (3). Переход осуществляется умножением первого не­равенства на -1.

Исходная задача:

Z_min = 2x₁ + x₂ + 5x₃ при ограничениях

- x₁ + x₂ + x₃  -4,

x₁ – 5x₂ + x₃  5, x_j  0 (j = 1, 2, 3).

2x₁ – x₂ + 3x₃ 6,

Двойственная задача:

f_min = -4x₁ + 5x₂ + 6x₃ при ограничениях

- y₁ + y₂ + 2y₃  2,

y₁ – 5y₂ - y₃  1, y_i  0 (i = 1, 2, 3).

2y₁ + y₂ + 3y₃  5,

Приведем без доказательства следующую теорему. Теорема 1.1. Если при подстановке компонент оптимального пла­на в систему ограничений исходной задачи i-e ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи по­ложительна, то i-e ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

5. Двойственный симплексный метод

В п. 2 и п. 3 настоящего параграфа было показано, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двой­ственной и используя оценки ее опти­мального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмо­треть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным ба­зисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках - двойственная. Причем оценками плана исходной задачи являются С_j а оценками плана двойственной задачи – b_i. Решим "двойственную задачу по симплексной таблице, в которой записана ис­ходная задача; найдем оптимальный план двойственной задачи, а вместе с ним и оптимальный план исходной задачи. Этот метод носит на­звание двойственного симплексного метода,

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программиро­вания, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A₀, Х  0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA₀ при YA  С. Допустим, что выбран такой базис D = (A₁, А₂, ..., А_i, ..., А_m), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D^-1 A₀ = (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_m) отрицатель­ная (например, x_i < 0), но для всех векторов A_j выполняется соотно­шение Z_j – C_j  0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = С_баз D^-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном бази­се X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двой­ственной задачи должны быть неотрицательными.

Таким образом, вектор А_i, соответствующий компоненте x_i < 0, следует исключить из базиса исходной задачи, а вектор, соответствую­щий отрицательной оценке,— включить в базис двойственной задачи.

Для выбора вектора, включаемого в базис исходной задачи, просмат­риваем i-ю строку: если в ней не содержатся x_ij < 0, то линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике реше­ний, а исходная задача не имеет решений. Если же некоторые x_ij < 0, то для столбцов, содержащих эти отрицательные значения, вычисля­ем _0j= min (x_i/x_ij)  0 и определяем вектор, соответствующий max _0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на минимум и min _0j(Z_j — C_j) при решении исходной задачи на максимум. Этот вектор и включаем в базис исходной задачи. Вектор, который необ­ходимо исключить из базиса исходной задачи, определяется направ­ляющей строкой.

Если _0j= min (x_i/x_ij) = 0, т. е. x_i = 0, то x_ij берется за раз­решающий элемент только в том случае, если x_ij > 0. Такой выбор раз­решающего элемента на данном этапе не приводит к увеличению коли­чества отрицательных компонент вектора X. Процесс продолжаем до получения Х  0; при этом находим оптимальный план двойственной задачи, следовательно, и оптимальный план исходной задачи.

В процессе вычислений по алгоритму двойственного симплексного метода условие Z_j – C_j  0 можно не учитывать до исключения всех х_i < 0, затем оптимальный план находится обычным симплексным ме­тодом. Это удобно использовать, если все х_i < 0; тогда для перехода к плану исходной, задачи за одну итерацию необходимо _0j определить не по минимуму, а по максимуму отношений, т. е. _0j= max (x_i/x_ij) > 0.

Двойственным симплексным методом можно решать задачи линей­ного программирования, системы ограничений которых при положи­тельном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограниче­ний, а также размеры симплексной таблицы.

1. Список используемой литературы

1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.

2. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. «Наука», 1980 г.