GEOM_F (Геометрия), страница 2

ных в плоскостях так, что отрезки AA₁,BB₁,CC₁, и

DD₁ параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA₁..D₁.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A₁D₁CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁..D₁. Т.к. A₁D₁ BC и

A₁D₁=BC, то A₁D₁CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A₁A₂..A_n

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA₁A₂,PA₂A₃,...,PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂..A_n и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A₁A₂..A_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂, ..., Pa_n - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A¹ -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA¹/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A¹, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC₁²=AB²+AD²+AA₁²

Так как ребро CC₁

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ACC₁-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC₁

по теореме Пифагора получаем AC₁²=AC²+CC₁².

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD². Кроме того, CC₁=AA₁.

След-но AC₁²=AB²+AD²+AA₁² Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB₁A₁ и DCC₁D параллелепипеда ABCA₁..D₁. Т.к. ABCD и ADD₁A₁ - параллелограммы, то ABDC и AA₁DD₁. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA₁=DD₁. По той же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и  м/у ними паралл-ма ABB₁A₁ соотв.

равны двум смежным сторонам у  м/у ними пар-ма DCC₁D₁, поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн.

сечение конуса плоскостью

перпендикулярной к оси Ox,

является кругом с центром

в т.M₁ пересечения этой

плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого

круга ч/з R₁, а площадь

сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M₁. Из

подобия прямоугольных

треугольников OM₁A₁ и OMA следует, что

OM₁/OM=R₁/R, или x/h=R₁/R, откуда R₁=xR/h.

Так как S(x)=R₁², то S(x)=R²x²/h².

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна R², поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB¹A¹ равна AA¹*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула S_бок=2rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA₁B₁C₁ с объемом V и

высотой h. Проведем такую

высоту треугольника ABC

отрез.BD, которая разделяет

этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB₁D разделяет

данную призму на две приз.,

основаниями которых явл.

прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны

S_abdh и S_bdch. V=V₁+V₂, т.е. V=S_abdh+S_bdch=

=(S_abd+S_bdc)h. Таким обр., V=S_abch

2) Докажем теорему для произвольной

призмы с высотой h и площ.

основания S. Такую призму

можно разбить на прямые

треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз.

по формуле (1) и сложим эти

объемы. Вынося за скобки

множитель h, получим в

скобках сумму площадей

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -