GEOM_F (Геометрия)
Описание файла
Документ из архива "Геометрия", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "GEOM_F"
Текст из документа "GEOM_F"
БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость
называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Док-во: Пусть -плоскость,
а - не лежащая в ней прямая
и а1 - прямая в плоскости ,
параллельная прямой а.
Проведем плоскость 1 ч/з
прямые а и а1.
Она отлична от ,
т.к. прямая а не ле-
жит в плоскости . Плоскости и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-
ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.
2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H
БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.
Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.
Sп.п.=2R(H+R)
БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b.
Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b.
2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H
БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотрим
две плоскости и . В
плоскости лежат
пересекающиеся в т.М
прямые a и b, а в -
- прямые а1 и b1,
причем а а1 и b b1.
Докажем, что плоскос.
-ти и не параллель
ны. Тогда они перес.
по прямой с. Мы получили, что плоскость проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что
а с.
Но плоскость проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая с.
Значит, наше допущение неверно и . Ч.Т.Д.
- - - - - - - -
БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а и
М плоскость , а ч/з М в
в плоскости прямую
b a. Докажем, что b a
единственна.
Допустим, что существует другая прямая b2 a, и
проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести
плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но,
по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА
ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она
совпадает с . По аксиоме о параллельных
прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.
2. Vус.кон.=1/3*H(R12+R1R2+R22)
БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости
и точки, не принадлежащие ей.
А2 Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой.
А3 Если две различные прямые имеют общую
точку, то ч/з них можно провести плоскость, и
притом только одну.
2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A
БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10 Проекция прямой есть прямая.
20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.
одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.
Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.
- - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной
Док-во: AH - перпенд.
к плоскости , AM -
наклонная, а - прямая
проведенная в плоск.
ч/з точку M перпенд
к проекцииHM
наклонной.
Рассмотрим плоск.
AMH. Прямая аэтой
плоскости, т.к. она
к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.
что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.
Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Sсеч.=2RH
Sшар.сег.=2RH
БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a b. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости и . Но это невозможно, след-но, a b. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости и такие, что плоскость проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости и пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .
Проведем в плоскости прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и . Но BAD=900 (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями и равен 900, т.е. . Ч.Т.Д.
Sбок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)
БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а1.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .
Так как а, то ах. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а1. Ч.Т.Д.
Vпаралл-да=abc=Sосн.*H
БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.
Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)
БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположен-