84241 (Билеты по математике для устного экзамена и задачи по теме)

Вопросы по алгебре

(устный экзамен)

1. Тригонометрия:

   основные тригонометрические тождества;

   доказательство формул;

   мнемоническое правило.

2. Свойства тригонометрических функций:

   sin x, y= cos x, y= tg x, y= ctg x.

   Их графики.

3. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тригонометрический круг.

4. Простейшие тригонометрические уравнения.

5. Определения и свойства обратных тригонометрических функций: y= arcsin x, y= arccos x, y= arctg x, y= arcctg x.

   Их графики.

6. Простейшие тригонометрические неравенства (sin x < a).

7. Любая производная из листа, таблицы.

8. Правила вычисления производной (Лагранж).

9. Геометрический смысл производной:

   производная в данной точке;

   уравнение касательной;

   угол между прямыми.

10. Физический смысл производной.

11. Экстремумы функций. Правила нахождения их с помощью производной.

12. Возрастание и убывание функции. Правило Лагранжа.

13. Наибольшее и наименьшее значение функции. Правила. На эту тему.

14. Многочлены. Теорема Безу, ее доказательство.

15. Правила нахождения рациональных корней, доказательство.

Четность, периодичность.

Вычислить

1. cos 22,5°

2. sin(arcsin11/12)-cos(arccos1/6)

3. tg(arcsin21/29)

4. tg(arccos1/4)

5. tg(arcctg7)

6. sin(arccos1/3)-cos(arcsin(-1/3))

7. sin(arctg12)+cos(arcctg(-2))

8. cos(arctg(-5))-sin(arctg3)

9. cos(p/2+arcsin3/4)

10. cos(p-arctg17)

11. cos(3p/2+arcctg(-4))

12. cos(2p-2arccos(-Ö3/2))

13. sin(p/2-arccos1/10)

14. sin(p+arctgÖ3/7)

15. sin(3p/2-arcctg81)

16. sin(2p-3arcsinÖ2/2)

17. tg(p/2-arccos(-1/3))

18. tg(3p/2+4arctgÖ3/3)

19. tg(p+arcsin(-2/17))

20. tg(2p-arcctg(-5))

21. arcsin(-Ö3/2)

22. arcsin1

23. arcsin(-1)

24. arccos(-Ö3/2)

25. arccos0

26. arccos(-1)

27. arctg(-1/Ö3)

28. arctg(-1)

29. arctg1

30. arcctg(-1/Ö3)

31. arcctg(-1)

32. arcctg0

33. cos(arctg2)

34. sin(arctg(-3/4))

35. tg(arcctg(-3))

36. sin(arcctg p)

37. tg(arcsin p), -1<p<1

38. ctg(arctg p), p¹0

39. arcsin(-Ö3/2)+arcctg(-1)+arccos(1/Ö2)+1/2arccos(-1)

40. sin(1/2arcctg(-3/4))

41. ctg(1/2arccos(-4/7))

42. tg(5arctgÖ3/3-1/4arcsinÖ3/2)

43. sin(3arctgÖ3+2arccos1/2)

44. os(3arcsinÖ3/2+arccos(-1/2))

45. sin(1/2arcsin(-2Ö2/3))

Какой знак имеет число:

1. cosÖ3

2. sin2×sin4×sin6

3. cos5×cos7×cos8

4. tg(-1)×tg3×tg6×tg(-3)

5. ctg1×ctg(-2)×ctg9×ctg(-12)

6. sin(-3)×cos4×tg(-5) / ctg6

7. sin7×cos(-8) / tg6×ctg(-5)

8. (sin6+cos(-4)) / (tg(-2)+ctg(-10))

9. (sin(-8)+cos9) / cos11tg(-9)

10. (cos10×sin7-tg10) / cos(-Ö2)×ctg(-4)

11. arcsin(tg(-1/2))+arctg(cos(-4))

12. sin(-212°)

13. sin3p/7×cos9p/8×tg2,3p

14. sin1×cos3×ctg5

15. sin1,3p×cos7p/9×tg2,9

16. sin8×cos0,7×tg6,4

17. sin7p/6×cos3p/4

18. sin5p/3×cos2p/5×cos7p/4

19. sin1,3×cos(-1,5)×sin(-1,9)

20. sin23°-sin36°

21. cos37°-cos18°

22. cosp/9-cos2p/9

23. cos212°-cos213°

24. sin310°-sin347°

25. cos5p/6-cos5p/7

26. sinp/12-sinp/18

27. cos3p/7-cos3p/11

28. cosp/11-sinp/11

29. sin2p/3-cos3p/4

30. sin16°-cos375°

31. ctg153°-ctg154°

32. tg319°-tg327°

33. tg(33p/8)-tg(37p/9)

34. ctg(101p/14)-ctg(251p/27)

35. tgp/6-ctgp/4

36. tgp/6-ctgp/6

Решить уравнения:

1. sin(x² + x) =1/2;

2. 4 - сos² x = 4sinx

3. 5 - 2cosx = 5Ö2sin(x/2)

4. cos⁴x = cos2x

5. sin⁴x + cos⁴x = sin2x-1/2

6. sin²x + 3sin2x - 2сos²x = 2

7. cos(x/2) + 3/2sinx + 5sin²(x/2) = 3

8. sinx - 2cosx = 1

9. cos⁶x + sin⁶x - cos²2x = 1/16

10. cos2x - sin³x×cosx + 1 = sin²x + sinx×cos³x

11. tgx - tg2x = sinx

12. 2sin³x - cos2x - sinx = 0

13. 2cos2x = Ö6(cosx - sinx)

14. 1 - sinx = cosx - sin2x

15. 2Ö3sin²(x/2) + 2 = 2sin²x + Ö3

16. 1 + cos(x² + 1) = sin²(x² + 1)

17. 2sinx×cos²x + cos⁴x = 2sinx + cos2x + cos²x

18. tg²x + ctg²x + 3tgx + 3ctgx +4 = 0

19. 1 + cos(x/2) + cosx = 0

20. 1 - sin(x/2) = cosx

21. 2sin²x + cos4x = 0

22. sin4x + 2cos²x = 1

23. 5sinx - 4ctgx = 0

24. 3cosx + 2tgx = 0

25. 1 + 4cosx = cos2x

26. 2cos²x + 5sinx + 1 = 0

27. cos2x + 3Ö2sinx - 3 = 0

28. 2cos2x + 4cosx =sin²x

29. 2cos2x + sin3x = 2

30. cos4x + 4sin²x = 1 + 2sin²2x

31. 4 - 6cosx = 3 sin²x - sin²(x/2)

32. 5 + 2sin2x - 5cosx = 5sinx

33. cos4x + 8sin²x - 2 = 6cos2x - 8 cos⁴x

34. 4 - 3cos4x = 10sinx×cosx

35. sin4x = (1 +Ö2)(sin2x + cos2x - 1)

36. cos(10x + 12) + 4Ö2sin(5x + 6) = 4

37. sin³x + cos³x = 1 - 1/2sin2x

38. ctg²x - tg²x = 16cos2x

39. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

40. 1/2(cos²x + cos²2x) - 1 = 2sin2x - 2sinx - sinx - sin2x

41. tg(p/2×cosx) = ctg(p/2×sinx)

42. sin3x - sinx + cos2x = 1

43. 2cos²x + 3sinx = 0

44. 2sin²x + 1/cos²x = 3

45. 2sin2x + Ö3cosx = 0

46. Ö1 + sinx¢+ cosx = 0

47. sin⁴x + cos⁴x = sin2x

48. 4cos4x + 6sin²2x + 5cos2x = 0

49. cos2x + 4sin³x = 1

50. 1 - sin2x = -(sinx + cosx)

51. 4sin²2x - 2cos²2x = cos8x

52. 8sin⁴x + 13cos2x = 7

53. 2sinx + 3sin2x = 0

54. cos(x/2) = 1 + cosx

55. sin2x = 1 + Ö2cosx + cos2x

56. sin2x = Ö3sinx

57. 2cos²3x - cos3x = 0

58. Ö3sin2x = 2cos²x

59. 3sin²x - cos²x - 1 = 0

60. Ö3sin2x - cos2x = Ö3

Доказать:

tg208°

Что больше:

1. sin1 или cos1

2. tg1 или tg2