25507-1 (Критерий Вилкоксона), страница 2

Легко подсчитать, что в условиях примера 3 b² = b(1- b)^-1 / 4 , g² = (1- 2b) / 4 . Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона будет асимптотически нормальным с математическим ожиданием 0 и дисперсией

D(T) = 3 [(n-1) b(1- b)^-1 + (m-1) (1-2b) + 1] (m+n+1) ^{- 1} .

Проанализируем величину D(T) в зависимости от параметра b и объемов выборок m и n. При достаточно больших m и n

D(T) = 3 w b (1 - b)^-1 + 3 (1 - w) (1 - 2 b) ,

с точностью до величин порядка (m+n)^-1 , где w= n/(m+n). Значит, D(T) - линейная функция от w, а потому достигает экстремальных значений на границах интервала изменения w, т.е. при w = 0 и w = 1. В первом случае, при b(1-b)^-1 <1-2b, минимум равен 3b(1-b)^-1 (при w = 1), а максимум равен 3(1 - 2b) (при w = 0). Во втором случае, при b(1-b)^-1 >1-2b, максимум равен 3b(1-b)^-1 (при w = 1), а минимум равен 3(1 - 2b) (при w = 0). Если же b(1-b)^-1 =1-2b, а это равенство справедливо при b=b₀ = 1 - 2^-1/2 = 0,293, то D(T) = 3 (2^1/2 - 1) = 1,2426... при всех w из отрезка [0 ; 1].

Первый из описанных выше случаев имеет быть при b < b₀ , при этом минимум D(T) возрастает от 0 (при b=0, w=1 - предельный случай) до 3(2^1/2 - 1) (при b=b₀ , w - любом), а максимум уменьшается от 3 (при b=0, w=0 - предельный случай) до 3 (2^1/2 - 1) (при b=b₀ , w - любом). Второй случай относится к b из интервала (b₀ ; 1/2]. При этом минимум убывает от приведенного выше значения для b=b₀ до 0 (при b=1/2 , w=0 - предельный случай) , а максимум возрастает от того же значения при b=b₀ до 3 (при b=1/2 , w=0).

Таким образом, D(T) может принимать все значения из интервала (0 ; 3) в зависимости от значений b и w. Если D(T) < 1, то при применении критерия Вилкоксона к выборкам с рассматриваемыми функциями распределения гипотеза однородности (2) будет приниматься чаще (при соответствующих значениях b и w - с вероятностью, сколь угодно близкой к 1), чем если бы она самом деле была верна. Если 1

* * *

При проверке гипотезы однородности мы рассмотрели различные виды нулевых и альтернативных гипотез - гипотезу (2) и ее отрицание в качестве альтернативы, гипотезу (6) и ее отрицание, гипотезы о равенстве или различии медиан. В теоретических работах по математической статистике любят гипотезу сдвига, в которой альтернативой гипотезе (2) является гипотеза

H₁: F(x) = G(x + r) при всех x и некотором r, отличным от 0 . (12)

Если верна альтернативная гипотеза H₁, то вероятность P(X < Y) отлична от 1/2, и критерий Вилкоксона является состоятельным.

В некоторых прикладных постановках гипотеза (12) представляется естественной. Например, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой величины (физической, химической и т.п.). При этом функция распределения G(x) описывает погрешности измерения одного значения, а G(x+r) - другого (вопреки распространенному заблуждению, хорошо известно, что распределение погрешностей измерений, как правило, не является нормальным - см. об этом консультацию [5]). Однако в большинстве прикладных постановок нет никаких оснований считать, что отсутствие однородности всегда выражается столь однозначным образом, как следует из формулы (12). Поэтому мы, рассматривая в статье [6] проблему выбора статистического критерия для проверки однородности, пришли к выводу о необходимости использования критериев, состоятельных против любого отклонения от гипотезы однородности (2), прежде всего критериев Смирнова и типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта).

Почему же математики так любят гипотезу сдвига (12)? Да потому, что она дает возможность доказывать глубокие математические результаты, например, об асимптотической оптимальности критериев, как это продемонстрировано в монографии Я.Ю.Никитина [7]. К сожалению, с точки зрения прикладной статистики это напоминает поиск ключей под фонарем, где светло, а не там, где они потеряны. Впрочем, новые методы обычно сначала разрабатываются в лаборатории и только потом переносятся на производство.

Отметтим еще одно обстоятельство. Часто говорят (в соответствии с классическим подходом математической статистики), что нельзя проверять нулевые гипотезы без рассмотрения альтернативных. Однако при практическом анализе данных зачастую полностью ясна формулировка той гипотезы, которую желательно проверить (например, гипотезы полной однородности - см. формулу (2)), в то время как формулировка альтернативной гипотезы не очевидна (то ли это гипотеза о неверности равенства (2) хотя бы для одного значения x, то ли это альтернатива (8), то ли - альтернатива сдвига (12), и т.д.). В таких случаях целесообразно "обернуть" задачу - исходя из статистического критерия найти альтернативы, относительно которых он состоятелен. Именно это и проделано в настоящей статье для критерия Вилкоксона.

Литература

1. Гаек Я., Шидак З. Теория ранговых критериев. - М.: Наука, 1971. - 376 с.

2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: ВЦ АН СССР, 1968. - 474 с.

3. Холлендер М., Вулф Д.А. Непараметрические методы статистики. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с.

4. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 108 с.

5. Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1991. Т.57. № 7. С.64-66.

6. Орлов А.И. / Вестник Академии медицинских наук СССР. 1987. №2. С.88-94.

7. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. - М.: Наука, 1995. - 240 с.