8669-1 (Коперник геометрии)

Коперник геометрии

Борис Лаптев

Область научных интересов Н.И.Лобачевского не ограничивалась математикой. Он преподавал механику, астрономию, физику, зачастую давая оригинальную трактовку излагаемым предметам. Долгие годы он был ректором Казанского университета.

Известно, что среди математиков, пришедших к ее идеям, Лобачевский не был единственным. Напомним несколько фактов, относящихся к истории создания неевклидовой геометрии.

Свое рассуждение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теории параллельных» Н.И.Лобачевский представил физико-математическому отделению (факультету) университета 7 (19) февраля 1826 года.

Замечательный венгерский математик военный инженер Янош Бойаи (1802...1860) независимо от Лобачевского развил такую же систему геометрии и опубликовал свой труд как «Приложение» (по-латински Appendix) к первому тому обширного курса математики «Наставление юношам...» (1832) своего отца Фаркаша Бойаи.

Отдельные оттиски «Аппендикса» появились уже в 1831 году – это было на два года позднее публикации Лобачевского. («О началах геометрии»; журнал «Казанский вестник», 1829...1830 годы; рукопись «Сжатого изложения...» не была опубликована и до нас не дошла).

В отличие от Лобачевского Янош Бойаи, не встретив понимания и поддержки, прекратил дальнейшую разработку новой геометрии.

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777...1855), названный современниками «королем математиков», как выяснилось из посмертных публикаций его переписки с друзьями и его научных дневников, еще до Лобачевского получил основные соотношения новой геометрии. Однако он свои результаты но только не опубликовал, но и запретил друзьям говорить кому-либо о них. Отчасти он опасался непонимания и резких отзывом со стороны современников (боялся потревожить, как он писал, «гнездо ос»), отчасти (и это было основной причиной), он долго не мог примириться сам с полученными им выводами, поскольку новая геометрия нарушала стройность его идеалистического мировоззрения и ему приходилось исключать геометрию из идеальной области чистой математики как нуждающуюся в экспериментальной проверке.

Таким образом, у истоков первой неевклидовой геометрии стоят имена трех ученых. Но работа Н.И.Лобачевского была опубликована первой, и только он полностью разработал свои идеи, включив вопросы о вычислении длин дуг, площадей и объемов. И хотя он встретил непонимание у современников, отрицательное отношение со стороны Академии наук (отзыв М.В.Остроградского, 1832), а в реакционном журнале Ф.Булгарина «Сын отечества» даже появилась анонимная издевательская рецензия (1834), все-таки он продолжал отстаивать свои геометрические идеи на протяжении всей жизни, находя им применение в самой математике, обосновывая и развивая их в целом ряде работ. Последнюю из них, «Пангеометрию», он, ослепший, уже не мог писать сам, и она была им продиктована ученикам за год до смерти.

Непротиворечивость новой геометрии была впоследствии строго доказана Ф.Клейном (1871), опиравшимся на результаты А.Кэли (1859) и Э.Бельтрами (1868) и разработавшим общую теорию неевклидовых геометрий.

В этой общей системе «воображаемая геометрия» была названа Ф.Клейном гиперболической, но по справедливости она будет сохранять также и другое имя – «геометрия Лобачевского – Бойаи».

В своих работах Н.И.Лобачевский предстает перед читателем прежде всего как глубокий математик, обратившийся к исследованиям начал этой науки.

В самом деле, кто не согласится, что никакая математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы геометрию, и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в геометрии предостерегает нас представление самих предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства убеждаемся простотою их и опытом, например, астрономическими наблюдениями; однако ж все это нисколько не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению. К тому и не вправе пренебрегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем, не послужит ли оно еще к чему другому...

Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами: врожденным – не должно верить.

«О началах геометрии». 1829.

Прибегнув к опыту и использовав новейшие современные ему результаты астрономических измерений параллаксов звезд, опираясь па соотношения своей геометрии, Лобачевский пришел к выводу, что геометрия реального мира, где прямые линии реализуются лучами света, для довольно больших расстояний (порядка диаметра солнечной системы) почти евклидова. Иными словами, отклонение от евклидовой геометрии, если оно и существует, весьма мало. Таким образом, более общая геометрическая система послужила логическим базисом для обоснования практической применимости более простой, «употребительной» геометрии.

Лобачевский установил, в частности, что по его теории в масштабах солнечной системы сумма углов треугольника может отличаться от 180° (или, как еще говорят, от двух прямых) не более чем на несколько миллионных долей секунды, то есть в пределах ошибок измерений.

Чем менее, следовательно, треугольник, тем сумма углов его менее разнится от двух прямых. После этого можно воображать, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала этой последней рассматривать как бы строго доказанными.

Между тем нельзя не увлекаться мнением г.Лапласа, что видимые нами звезды и Млечный Путь принадлежат к одному только собранию небесных светил, подобному тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и проч. Итак, не говоря о том, что в воображении пространство может быть продолжаемо неограниченно, сама природа указывает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостью даже и расстояния нашей земли до неподвижных звезд.

После этого нельзя утверждать более, что предположение, будто мера линий не зависит от углов, – предположение, которое многие геометры хотели принимать за строгую истину, не требующую доказательства, – может быть не оказалось бы приметно ложным еще прежде, нежели перейдем за пределы видимого нами мира.

«О началах геометрии». 1829.

Глубокий интерес к началам наук Лобачевский проявлял уже с первых лет своей научной деятельности. Общеизвестно, к каким достижениям это привело его в геометрии. И в алгебраических исследованиях и в математическом анализе его внимание к началам науки дало ряд глубоких, ценных результатов. Так, в своей «Алгебре» – первом в русской литературе курсе высшей алгебры (книга прошла цензуру в 1832 году) – он обратил особое внимание на свойства операций с числами. Здесь же при решении систем линейных алгебраических уравнений впервые в мировой учебной литературе вводятся определители. В области математического анализа Лобачевский занимался вопросами сходимости («исчезания») рядов и в связи с этим уточнил понятие функции («Об исчезании тригонометрических строк», 1834), разграничил понятия непрерывности и дифференцируемости. Ценные результаты он получил и в теории вероятностей.

Существенно отметить, что Лобачевский не был только математиком, замкнувшимся в своей деятельности в одной этой области науки. Для него математика – лишь один из инструментов, позволяющих наиболее глубоко проникнуть в познание закономерностей природы.

Науке чисел принадлежит все, что имеет величину; а что в физическом мире ее не имеет? В нем всё существует под необходимым условием быть измеряему и, следовательно, все подчинено законам математики. Посему все естественные науки силятся встать на ту высокую ступень совершенства, на которой последует их соединение с математикой; и со времени сего соединения их успехи пойдут быстрыми шагами вперед. Это случилось уже с физикой, в недавнее время с минералогией, и есть надежда того же ожидать для всей химии. Достигая до истин, к открытию которых ведет математика и которых важность поражает, если возвратиться назад к самому источнику великих и неожиданных успехов, то найдем, что строгая наука есть вместе наука здравого суждения, что всему основанием служит справедливое понятие о вещах, которое не оставляет вести математика чрез его вычисления. После чего нет уже явлений природы, которых бы он не мог изъяснить; нет явлений, которых бы он не мог предсказать и определить с точностью и время и меру. Казалось бы, что понятие о вещах и здравое о них суждение не должно зависеть от вычислений; но то, однако ж, правда, что ум, приученный вычислениями, далеко продолжает еще идти за ту границу, которую не переступит ум, непосвященный в таинство науки чисел.

«Происхождение и распространение звука в воздухе». 1823.

Широта естественнонаучных интересов Лобачевского проявилась и в его педагогической деятельности в университете (1811...1845), которая не ограничивалась математическими дисциплинами. Длительные периоды он вел преподавание механики, астрономии, физики, высказывая при этом весьма прозорливые суждения. Приведем ради примера его мысль о связи пространства, движения и материи.

В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой геометрии. Чтобы выяснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своего действия по сфере. В употребительной геометрии величину сферы принимают 4πr² для полупоперечника r от чего сила должна уменьшаться в содержании к квадрату расстояния. В воображаемой геометрии нашел я поверхность шара

π (e^r – e^–r)²,

и такой геометрии, может быть, следуют молекулярные силы, которых за тем все разнообразие будет зависеть от числа е, всегда весьма большого. (Не следует путать параметр е, употребляемый Лобачевским, с эйлеровым числом е, основанием натуральных логарифмов.) Впрочем, пусть это чистое предположение только, для подтверждения которого надобно поискать других убедительных доводов; но в том, однако ж, нельзя сомневаться, что силы все производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится в тесной связи, которую, не постигая в сущности, не можем утверждать, будто в отношение разнородных величин между собою должны только входить их содержания. Допуская зависимость от содержания, почему не предполагать и зависимости прямой? Некоторые случаи говорят уже в пользу такого мнения; величина притягательной силы, например, выражается массою, разделенной на квадрат расстояния. Для расстояния нуль это выражение, собственно, ничего не представляет. Надобно начинать с какого-нибудь большого или малого, но всегда действительного расстояния, и тогда только сила появляется. Теперь спрашивается, как же расстояние производит эту силу? Как эта связь между двумя столько разнородными предметами существует в природе? Этого, вероятно, мы никогда не постигнем; но когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами. По крайней мере разнородность одинакова в обоих случаях, которых различие не заключается собственно в понятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений.

«Новые начала геометрии». 1835.

Замечательные мысли Н.И.Лобачевского о необходимой связи свойств пространства и действующих в нем материальных сил получили впоследствии свое конкретное осуществление в общей теории относительности А.Эйнштейна.

Нельзя забывать о роли Лобачевского как выдающегося университетского деятеля первой половины XIX века, отдавшего почти двадцать лет своей жизни строительству и развитию Казанского университета, замечательного педагога, просветителя и методиста.

Эта сторона его деятельности хорошо иллюстрируется речью Н.И.Лобачевского «О важнейших предметах воспитания». Она была произнесена им в 1828 году по истечении первого года ректорства. Речь публикуется с несущественными для ее темы сокращениями.