7865-1 (Теория игр и принятие решений)

Теория игр и принятие решений

В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях риска;

б) в условиях неопределённости;

в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

Теория полезности и принятия решений.

Принятие решений в условиях риска.

Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁,x₂,...,x_n значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n

0 и MX.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент риска.

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

Пусть р_t вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = ,

где M(n_t) математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t . Таким образом

ОЗ =

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ (T^*-1) ОЗ (T^*),

ОЗ (T^*+1) ОЗ (T^*).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значения p_t имеют вид:

T^* 3 , ОЗ(Т^*) 366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T^*=3 интервала времени.

Критерий ожидаемое значение дисперсия

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций .

Если х с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое имеет дисперсию , где n число слогаемых в . Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Пример 2. Применим критерий ожидаемое значение дисперсия для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т =

Т.к. n_t, t = с.в., то з_Т также с.в. С.в. n_t имеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_t и D(n_t) = np_t(1p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D = D( ) =

= = = n ,

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з_Т).

Замечание. Константу к можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. к определяет степень возможности дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать к много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к =1 получаем задачу

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.

Критерий предельного уровня.

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задаётся непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери.

Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А₂ единиц. Иными словами, пусть I искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ,

ожидаемые излишки = .

При произвольном выборе А₁ и А₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть, например,

Тогда

= = 20(ln + 1)

= = 20(ln + 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln I ln 20 1 = 1.996

ln I ln 10 1 = 1.302

Предельные значения А₁ и А₂ должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например, если А₁ = 2 и А₂ = 4, неравенства принимают вид

ln I 1.896

ln I 1.102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.

Принятие решений в условиях неопределённости.