61979 (Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале))
Описание файла
Документ из архива "Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кибернетика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "кибернетика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "61979"
Текст из документа "61979"
Министерство Высшего Образования РФ.
Московский Институт Электронной Техники
(Технический Университет)
Лицей №1557
КУРСОВАЯ РАБОТА
“Вычисление интеграла методом
Ньютона-Котеса”
Написал: Коноплев А.А.
Проверил: доцент Колдаев В.Д.
Москва, 2001г.
-
Введение..................................................................................... 3
-
Теоретическая часть...................................................................4
-
Алгоритм работы........................................................................8
-
Код программы.........................................................................17
-
Модуль K_graph............................................................17
-
Модуль Graphic.............................................................34
-
Модуль K_unit...............................................................38
-
Основная программа....................................................40
-
Тестовые испытания.................................................................42
-
Полезные советы по работе с программой.............................42
-
Окна ввода и вывода программы.............................................
-
Вывод..........................................................................................43
-
Список литературы...................................................................44
Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона – поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??
Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.
Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:
(i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:
X0=a | X1 | X2 | … | XN=b |
Y0=f(x0) | Y1=f(x1) | Y2=f(x2) | … | YN=f(xN) |
Требуется найти значение интеграла .
Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:
Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:
где q=(x-x0)/h – шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:
Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:
Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:
Положим, что
где i=0,1,2…,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n. Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:
Теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: , при n=7.
Вычисление.
1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1.
2)Найдем значения y:
x0=0 | y0=1 |
x1=1 | y1=0.5 |
x2=2 | y2=0.2 |
x3=3 | y3=0.1 |
x4=4 | y4=0.0588 |
x5=5 | y5=0.0384 |
x6=6 | y6=0.0270 |
x7=7 | y7=0.02 |
3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса:
H1=H7=0.0435, H1=H6=0.2040, H2=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730
Подставим значения в формулу и получим:
П
ри подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:
Пример 2.
Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса
, взяв n=5;
Вычисление:
-
Определим шаг h=(8-4)/5=0.8
-
Найдем значения y:
x0=0 | y0=-2.61 |
x1=4.8 | y1=0.42 |
x2=5.6 | y2=4.34 |
x3=6.4 | y3=6.35 |
x4=7.2 | y4=4.38 |
x5=8 | y5=-0.16 |
-
Находим коэффициенты Ньютона –Котеса:
H0=H5=0.065972 ;H1=H4=0.260417 ;H2=H3=0.173611 ;
4)Подставим значения в формулу и получим:
Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса.
Пусть n=1 тогда
H0=H1=0.5 и конечная формула примет вид:
Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций.
Взяв n=3, мы получим
. Частный случай формулы Ньютона –Котеса – формула Симпсона
Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы.
Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef.
Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:
А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q
(процедура mnogoclen)
Б) домножить их на 1/n , где n –степень при q (процедура koef)
В) подставить вместо q значение n (функция integral)
Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.
Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);
Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);
Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );
Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);
Функция facktorial(n:целый):двойной;
Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;
Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;
Основная программа
Программа состоит из 8 файлов:
-
K_main.exe – файл загрузки основной программы
-
K_unit.tpu – модуль вычислительных процедур и функций
-
K_graph.tpu – модуль графических процедур
-
Graphic.tpu – модуль процедур для построения графика
-
Egavga.bgi – файл графической инициализации
-
Sans.chr, litt.chr – файлы шрифтов
-
Keyrus.com (не обязательно) – файл установки русского языка.
Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.
================================================
==========МОДУЛЬ GRAPH==========
================================================
{$N+}
unit k_graph;
interface
uses
crt,graph,k_unit,graphic;
procedure winwin1;
procedure proline(ea:word);
procedure winwwodab(ea:word);
procedure error1(ea:word);
procedure helpwin(ea:word);
procedure error(ea:word);
procedure newsctext(ea:word);
procedure newsc(ea:word);
procedure win1(ea:word);
procedure win2(ea:word;var k:word);
procedure wwodn(ea:word;var n:integer);
procedure wwodab(ea:word;var a,b:real);
procedure wwod1(ea:word;var y:array of double;var n:integer;var a,b:real);
procedure wwod2(ea:word;var ea1:word;var n:integer;var a,b:real;var st:string);
procedure win3(ea:word;n:integer;a,b:real;int:double;f:string;h:array of double;var k:word);
implementation
procedure proline(ea:word);
{Проседура полосы процесса}
var
i:integer;
f:string;
c:char;
begin
newsc(ea);
setcolor(15);
setfillstyle(1,7);
bar(160,150,460,260);
rectangle(165,155,455,255);
rectangle(167,157,453,253);
case (ea mod 2) of
0: outtextxy(180,170,' Идет работа .Ждите..');
1: outtextxy(180,170,' Working.Please wait..');
end;
setfillstyle(1,12);
setcolor(0);
rectangle(200,199,401,221);
for i:=1 to 9 do
line(200+i*20,200,200+i*20,220);
delay(20000);
for i:=1 to 100 do
begin
if ((i-1) mod 10)=0 then
line(200+((i-1) div 10)*20,200,200+((i-1) div 10)*20,220);
bar(round(200+2*(i-0.5)),200,200+2*i,220);
delay(1100);
setcolor(15);