16

Лекция 3

Показатели и критерии эффективности

1. ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Для того чтобы числовая функция

W (u)= М [ (Y (и), Y^тр)], (1)

определенная на множестве стра­тегий U, могла рассматриваться в ка­честве показателя эффективности, по­мимо требования соответствия цели А₀ операции она должна удовлетворять следующим требованиям: содержатель­ности и интерпретируемости, измери­мости, соответствия системе предпочте­ний ЛПР.

Последнее из этих требований озна­чает, что показатель эффективности должен учитывать психологические особенности лица, принимающего ре­шение (ЛПР), отражающие его отно­шение к различным ситуациям в усло­виях неопределенности (например, склонность, не склонность или безраз­личие к риску).

Формально психологические особен­ности ЛПР можно учесть введением специальной оценочной функции , отражающей отношение ЛПР к риску.

С учетом этого показатель эффектив­ности W есть математическое ожида­ние оценочной функции

. (2)

Показатели, построенные по правилу (1), часто называют «объективными», а по правилу (2) — «субъективными».

Если результат Y операции может быть описан единственной величиной у, то (1) и (2) определяют скаляр­ные показатели эффективности. В про­тивном случае приходится вводить векторный показатель эффективности

W (и) = || W₁ (и), W₂(u), ... W_т(и) ||^Т, (3)

где W_i(u), определяется по правилу (1) с подстановкой вместо Y (и), Y^тр величин y_i (и), у^тр_i частных характеристик исхода, т. е.

, .

Введение векторного показателя эф­фективности накладывает дополни­тельные требования: минимальности числа частных показателей и полноты. Подробнее существо требований, пре­дъявляемых к показателю эффективно­сти, рассматривается при описании специальной задачи моделирования цели операции.

Обычно векторный показатель вводят в случаях, когда единственная цель операции достигается решением не­скольких задач, эффективность реше­ния каждой из которых оценивается соответствующим частным показателем W_i(u), , но свернуть эти показатели в один обобщенный пока­затель не удается. Эти частные задачи могут решаться отдельными подсисте­мами, входящими в общую систему S₀, и тогда W_i (и) есть показатель эффек­тивности частной операции, проводи­мой i-й подсистемой. Кроме того, эти задачи могут решаться одной системой, но на разных этапах операции, и тогда W_i (u) есть показатель эффективности решения задачи на i-м этапе операции.

Показатель эффективности W(и) зависит от стратегии и. Он опреде­ляется на множестве допустимых стра­тегий U. В общем виде эта зависимость задается отображением

т. е. отображением множества допу­стимых стратегий U во множество зна­чений показателя эффективности W. Обычно отображение Y задается в форме определенной математической модели операции.

2. ФОРМЫ ПОКАЗАТЕЛЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Показатель эффективности в форме (2) является наиболее общим. В за­висимости от вида оценочной функции и функции соответствия (Y (и), Y^тр) из (2) можно получить различ­ные показатели эффективности.

Покажем это на примере «объектив­ных» скалярных показателей, часто используемых при исследованиях эф­фективности технических систем.

С целью отличия случайной величины от ее возможного значения, когда это не ясно из контекста, над соответствую­щей буквой будем ставить символ . Например, — случайная величина,  — ее возможное значение.

Пусть цель операции описывается случайным событием А, наступление которого является желательным ре­зультатом операции. Комплекс усло­вий, а следовательно, и вероятность Р_и(А) наступления этого события зависят от стратегии . Функцию соответствия  в этом случае вводят как бернуллиеву переменную, которая может принять лишь два значения: 0 или 1, т. е.

 (у (и), у^тр) = (4)

Очевидно, при таком введении функ­ции соответствия у^тр = 1. Вероятность события А есть математическое ожи­дание бернуллиевой переменной или функции соответствия (4).

Действительно,

и, следовательно, показатель эффек­тивности в форме (1) есть вероятность наступления события А:

W (и) = Р_и (А).

Часто событие А выражается отно­шением между реальным результатом у (и) и требуемым y^тр. Например,

или Функции соответствия для этих событий вводятся следующим образом:

для события А­₁:

для события А­₂:

Функцию соответствия (5) употреб­ляют в случаях, когда требуемый ре­зультат задачи и его достижение яв­ляются непременным условием выпол­нения поставленной задачи. При этом показатель эффективности

(6)

трактуется как вероятностная гаран­тия (или степень гарантии) выполне­ния поставленной задачи. Например, если цель операции заключается в обес­печении повышения срока службы изделия до уровня, не ниже требуемого y^тр, то показатель эффективности опе­рации (6) есть степень гарантии или вероятность того, что срок службы изделия будет не менее требуемого. При известной функции распределе­ния реального результата F_u (у) (6) записывают в следующем виде:

W(u)=1 – F_u(y^тр).

На рисунке 1 изображена функция распределения результата операции и показана вероятностная гарантия (вероятность ).

Рисунок 1 - Функция распределения результата операции. Вероятностная гарантия.

При исследовании эффективности операций широко распространен по­казатель среднего результата, т. е.

W(u)= M [у (и)]. (7)

Этот показатель используется в тех случаях, когда цель операции выра­жается числовой переменной. Очевидно, что (7) является частным случаем показателя (1), при котором функция соответствия равна реальному результату

 ( y(u), y^тр) = y(u).

Вводя показатель среднего резуль­тата и зная, например, диапазон изме­нения результата, исследователь может сравнить его значение с предельно большим значением.

Важным свойством показателя сред­него результата является его аддитив­ность, т. е.

. (8)

Если результат операции пред­ставим в виде суммы результатов действий подсистем , то средний результат операции равен сумме средних частных результатов, несмотря на возможную их стохастическую за­висимость.

Если цель операции носит количе­ственный характер, то в качестве по­казателя эффективности операции на­ряду с (6) может быть принят мини­мальный результат у_a, получаемый с заданной вероятностью a, т. е.

. (9)

Очевидно, = 1 – F (у_a).

где F (у) — функция распределения реального результата операции (слу­чайной величины ).

Решив это уравнение относительно у_a, получим

(10)

Здесь у_a есть обратная функция к функции распределения F (у) при значении аргумента (1 - ) (квантиль распределения F (у)). На рисунке 2 изобра­жена функция распределения резуль­тата операции и показан гарантирован­ный результат (переход от (1 - ) к ).

Рисунок 2 - Функция распределения результата операции. Гарантированный результат.

При этом функция соответствия

(11)

есть величина неслучайная и ее мате­матическое ожидание, следовательно, равно .

Таким образом, показатель эффек­тивности в форме (1) имеет вид

W(u)=M[ ]=у_a . (12)

Этот показатель обычно называют ве­роятностно-гарантированным резуль­татом. Требуемый результат косвенно отражает заданный (требуемый) уро­вень вероятности a (степень гарантии).

Рассмотрим один из способов введе­ния показателя эффективности для случая конфликтных ситуаций при наличии неопределенности в поведе­нии оппонента. Пусть имеет место конфликтная ситуация и на результат операции влияет не только выбор стратегии лицом, принимаю­щим решение, но и выбор стратегии v оппонентом из известного множества его допустимых стратегий V. Таким образом, результат операции у (и, v) зависит от и . Функция соответствия, как и в предыдущих примерах, будет измерять степень соот­ветствия реального результата опера­ции требуемому:

= ( y(u,v) , y^тр ).

При наличии случайных факторов введем математическое ожидание функ­ции соответствия (условный показатель эффективности):

W (и, у) = М [ ( y(u,v) , y^тр )] (2.21)

и выдвинем гипотезу поведения оппо­нента: он выбирает свои стратегии так, чтобы при любой стратегии ЛПР минимизировать степень соответствия реального результата опе­рации желаемому для ЛПР (т. е. ин­тересы оппонента противоположны ин­тересам ЛПР). В этих условиях в ка­честве показателя эффективности для ЛПР можно выбрать минимальное зна­чение W (и, v) для каждой стратегии , т. е.

. (2.22)

Эта форма показателя эффективности операции уже отличается несколько от (2.2). Однако функция соответствия (y(u,v), y^тр) в выражении (2.22) может принимать любой вид из тех, которые были рассмотрены в преды­дущих примерах. Смысл показателя W(и) заключается в том, что он яв­ляется гарантированным уровнем ус­ловного показателя W(и, v). При любой стратегии оппонента и фикси­рованной стратегии ЛПР W(и) W( u, v ), т. е. W(и) является нижней границей среднего значения функции соответствия реального результата опе­рации требуемому (для ЛПР).