50291 (Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления), страница 2

где А₂ - дробная часть произведения,

а_-2 - следующая цифра искомого числа.

Следовательно, при переводе выражение (2.2) представляется по схеме Горнера:

А = р^-1(а_-1 +р^-1(а_-2 + ... + р^-1(а_-к+1 + р^-1а_-к)...)).

Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую ее надо последовательно умножать на основание новой системы счисления до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби.

Рассмотрим в качестве примера перевод правильной дроби 0,536 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления

[0,536]₁₀=[0,10001001]₂=[0,422335]₈=[0,8937]₁₆

Перевод дроби в общем случае представляет собой бесконечный процесс. Число цифр в новой системе счисления необходимо определять из условия, что точность представления числа в новой системе должна соответствовать точности в исходной системе.

2.3 Перевод неправильных дробей

При переводе неправильной дроби необходимо отдельно перевести целую и дробную части по вышеизложенным правилам и записать число в новой системе счисления, оставив неизменным положение запятой.

2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием

Если основания систем счисления кратны друг другу, т.е. связаны зависимостью: l=p^m, то каждая цифра системы счисления с основанием l может быть представлена m цифрами в системе с основанием p.

Следовательно, для того, чтобы перевести число из исходной системы в новую, основание которой кратно основанию исходной системы, достаточно каждую цифру переводимого числа записать при помощи m цифр в новой системе счисления, если основание исходной системы больше основания новой системы счисления. В противном случае каждые m цифр исходного числа необходимо записать при помощи одной цифры в новой системе счисления, начиная для целых чисел с младшего разряда и для правильных дробей - со старшего.

Пример.

[0,536]₁₀=[0,100’010’010]₂=[0,422]₈ ; [0,1000’1001’0]₂=[0,89]₁₆

[138]₁₀=[10’001’010]₂=[212]₈: [1000’1010]₂=[8А]₁₆

3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ

Очевидно, что непозиционные системы счисления непригодны для применения в ЭВМ в силу своей громоздкости и трудности выполнения арифметических операций.

Из позиционных наиболее удобны однородные. С точки зрения применения в ЭВМ учитываются следующие факторы.

1. Наличие физических элементов, способных изобразить символы системы.

2. Экономичность системы, т.е. количество элементов необходимое для представления многоразрядных чисел.

3. Трудоемкость выполнения арифметических операций в ЭВМ.

4. Быстродействие вычислительных систем.

5. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств.

6. Удобство работы человека с машиной.

7. Помехоустойчивость кодирования цифр на носителях информации.

Исторически сложилось так, что для применения в ЭВМ была выбрана двоичная система счисления, которая наиболее полно соответствует этим критериям.

В современных универсальных ЭВМ применяются как двоичная, так и десятичная системы счисления. Причем цифры последней кодируются двоичными символами, т. е. речь идет в действительности не о десятичной, а о двоично-десятичной системе счисления. Каждая из отмеченных систем имеет свои достоинства и недостатки, а также свои области применения.

Достоинствами двоичной системы счисления относительно двоично-десятичной являются:

1) экономия порядка 20 % оборудования;

2) примерно в 1,5 раза более высокое быстродействие;

3) упрощение логического построения и значительная экономия оборудования в схемах управления и во вспомогательных цепях.

Достоинствами двоично-десятичной системы являются:

1) отсутствие необходимости перевода исходных данных и результатов расчетов из одной системы в другую;

2) удобство контроля промежуточных результатов путем вывода их на индикацию для визуального наблюдения;

3) более широкие возможности для автоматического контроля из-за наличия в двоично-десятичном коде избыточных комбинаций.

Двоичную систему счисления применяют в больших и средних ЭВМ, предназначенных для решения научно-технических задач, для которых характерен большой объем вычислений и сравнительно малый объем исходных данных и результатов вычислений. Ее также целесообразно применять в ЭВМ, предназначенных для управления технологическими процессами.

Двоично-десятичную систему счисления применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом исходных данных, сравнительной простотой и малым объемом выполняемых над ними преобразований и большим количеством результатов вычислений. Эту систему целесообразно также применять в калькуляторах, ЭВМ, предназначенных для инженерных расчетов, а также в персональных ЭВМ.

4. Двоичная система счисления

Под двоичной системой счисления понимается такая система, в которой для изображения чисел используются два символа, а веса разрядов меняются по закону 2^+-к, где к - произвольное целое число. Классической двоичной системой является система с символами 0, 1. Ее двоичные цифры часто называют битами. В общем виде все двоичные числа представляются в виде:

А= ∑а_і2^і, (і от -к до n)

Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь выполнять в ней арифметические операции. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной в соответствии с таблицами поразрядных вычислений.

Сложение в двоичной системе счисления производится по правилам сложения полиномов. Поэтому при сложении чисел А и В i-й разряд суммы S_i и перенос П_i из данного разряда в (i+1) разряд будет определяться в соответствии со следующим выражением:

а_і+ b_і + П_і-1= S_і +П_і+1

Таблица умножения двух двоичных чисел полностью определяется двумя правилами:

• умножение любого числа на ноль дает в результате ноль,

• умножение любого числа на 1 оставляет его без изменения, т.е. результат равен исходному числу.

4.1 Навыки обращения с двоичными числами

Хотя все правила выполнения операций в двоичной системе счисления очень просты, но тем не менее при работе с двоичными числами из-за отсутствия навыков возникают разного рода неудобства. Ниже приведены некоторые простые приемы, которые позволяют довольно свободно обращаться с двоичными числами.

Таблица 4.1.

1. Число 100...00 = 2ⁿ.

n нулей

Необходимо знать наизусть десятичные значения чисел, представленных в таблице 4.1.

2. Число 111...11= 2ⁿ -1.

n единиц

3. Необходимо знать наизусть десятичные значения двоичных чисел от 0 до 31 включительно. Эти числа в дальнейшем будут называться “малыми числами”.

4. Двоичное число

А= а_n-k+5 а_n-k+4 а_n-k+3 а_n-k+2 а_n-k+1 000...000

малое число k нулей равно а2^k .

Пример. 11011000=11011х2³ = 27 х 8 = 216.

Двоичное число