Шпоры по матану (Шпоры для экзамена)

1. ЧР наз. сходящимся, если

КК сходимости ЧР:

// Если ряд сходится, то

3. Интегральный ПК сх.Р:

5. Признак Коши:

7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:

Признак Абеля:

Признак Дирихле:

Ряд a_nb_n сходится, если:

9. Действия над рядами.

По определению полагают:

Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов схо­дится абсолютно.

11. КК РС функ. ряда:

13. Признаки РС ф. рядов.

Признак Абеля: Ряд

сходится равномерно на X, если: 1) Ряд a_n сх. равн. на X; 2) функции b_n(x) ограничены в совокупности и x образуют монотонную последовательность.

Признак Дирихле: Ряд (1) сходится равномерно на множестве X, если: 1) Част. суммы a_n(x) (n=1,…,N) в совокупности ограничены; 2) посл-ть b_n(x) (n=1,2,…) монотонна x и равномерно на X стре­мится к нулю при n.

15. Непрерывность и lim пер.

Th:{f_t; tT}, f_t: X C; B-база в T. Если f_t сх.равн. к f на X при базе B и функции f_t непрерывны в точке x₀X, то функция f: X C тоже непрерывна в этой точке.

Следствие 1: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.

Следствие 2: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равно­мерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.

17. Интегрирование и lim.

Th: {f_t , tT}, f_t:[a,b]C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и f_t сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и

Следствие: Если ряд из интегрируемых на [a,b] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a,b],

19. Характер сх. ст. ряда.

Th: Степенной ряд

сходится в круге K={zC | | z – z₀ | < R}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:

Вне этого круга ряд расходится. На любом замк­нутом круге, лежащем строго внутри круга K схо­димости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.

21. Дифф. и  ст. рядов:

Th: Если круг KC сходимости ст. ряда

не сводится к единственной точке z=z₀ , то внутри K сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем

Кроме того, f(z):KC можно интегрировать по любому гладкому пути :[0,1]K, и если

то

23. Ряд Тейлора.

Аналитическая в точке a ф-я f (x) в некоторой окр­естности этой точки разлагается в степенной ряд

Остаточный член в форме Лагранжа:

в форме Коши:

Основные разложения:

25. Алгебры функций.

Совокупность A вещественно (комплексно)-знач­ных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gA и R(C) следует, что

27. Теорема Стоуна:

Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R).

29. Теорема Вейерштрасса:

Если f C([a,b],C), то  {P_n; nN} многочленов P_n:[a,b]C, что P_n сх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fC([a,b],R), то и многочлены P_n можно выбрать из C([a.b],R).

31. Дифф. и непр. собств. (пар).

Непрерывность: P={(x,y)R²| x[a,b], y[c,d]}. Если функция f :PR непрерывна, то ф-я

непрерывна в любой точке y[c,d].

Дифференцирование: Если на прямоугольнике P функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y, то интеграл  принад­лежит к классу C⁽¹⁾([c,d], R), причем

33. Пр. Вейерш.РС несоб.(пар).

Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,] yY.

Если x[a,], yY | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл

сходится равномерно на Y, то интеграл

сходится абсолютно y и равномерно на мн-ве Y.

35. lim перех. под. знаком.н..

Th: Пусть f(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x[a,), и пусть B_Y -база в Y.

Следствие: Пусть yYR вещ. ф-я f(x,y) неотри­цательна и непрерывна на x[a,). Если с ростом y ф-ции f(x,y), монотонно возрастая, стр. к (x), C([a,],R) и

то справедливо равенство (*).

37. Дифф. н.(пар).

Th: Если

а) ф-ции f(x,y), f’_y(x,y) непрерывны на {(x,y)R²| x[a,), y[c,d]},

b) интеграл

c) интеграл

то он сх. равн. на Y; при этом ф-я F(y) оказывается дифференцируемой и

39. Интегрирование н.(пар):

Если f(x,y) непрерывна на {(x,y)R²| x[a,), y[c,d]} и интеграл

то ф-я F интегрируема на [c,d] и

41.

43. Ряды Фурье.

Если X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {l_k}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье:

Экстремальное свойство: yL ||x–x_l||≤||x–y||. Раве­нство возможно только при y=x_l.

Неравенство Бесселя:

Равенство Парсеваля:

45. Гильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во наз. гильберто­вым, если оно полно и имеет бесконечную размер­ность.

47. Тригонометр. ряд Фурье.

Систему экспонент{e^inx; nN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-,], C) отн. скал. пр-ния в-в.

Сопоставляемый ф. f триг.ряд

наз. триг.рядом Фурье ф-ции f.

Th:(ТРФ)fR([-,],C)сх.к f в средн.,т.е.f=ТРФ,

49. Лемма Римана.

Если локально интегрируемая ф-я f:[₁,₂]R аб­солютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [₁,₂], то

51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.

Гов., что f:U₀C, заданная в проколотой окр-ти точки xR, удовлетворяет усл. Дини, если

а) в т. x  оба односторонних предела

б) сходится абсолютно следующий интеграл:

Th: f:RC – 2-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-,]. Если f удовл. в т. xR условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x, причем

53.Свойства пр-ва CL₂[-∞,+∞]

_____________

55. Преобразование Фурье.

называется нормиров.преобр. Фурье ф-ции f:RC.

называется интегралом Фурье ф-ции f.

Свойства: 1. Линейность преобразования Фурье.

2. Th: f:RC – абс. инт-мая ф-я, кусочно непрер­ывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R. Если ф-я f удовл. Усл. Дини в xR, то её Фурье сх. в этой точке к значению ½(f (x_-)+f (x₊)).

57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.

f: RC – лок. инт. на Rⁿ ф-ция. Функция

называется преобр. Фурье функции f.

Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n одномерных преобразований Фурье, прове­денных по каждой из переменных x₁,…,x_n.

59. Теорема обращения.

Оператор, определяемый равенством

называется обратным преорбазованием Фурье.

Формула обращения преобразования Фурье:

или в форме интеграла Фурье

10. Сх. и РС семейства f(ПАР)

_________________________

8. Теорема Римана:

Сумму условно сходящегося ряда путем переста­новки слагаемых можно сделать равной любому числу.

6. Признак Лейбница:

Условно сходищимся наз. ряд a_n , если ряд a_n схо­дится, а ряд |a_n| -расходится.(n=1,2,…)

сходится (вообще гов. не абсолютно), если

В этом случае для остатка ряда

имеем оценку

4. Признак Даламбера:

2. Признак сравнения I:

Признак сравнения II:

20. Теоремы Абеля.

Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд

сх. в концевой точке x=R интервала сход-ти, то

Вторая Теорема Абеля: Если степенной ряд

сходится в некоторой точке С, то он сходится равномерно на отрезке с концами z₀ ,.

18. Дифференцирование и lim.

Th:{f_t , tT}–семейство f_t: XC, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, се­мейство {f_t’, tT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции :XC, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x₀ X, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:XC, причем f’=.

16. Теорема Дини:

Если последовательность непрерывных на ком­пакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость рав­номерная.

Следствие: Если члены ряда a_n(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции a_n: KR и ряд сходится на K к непре­рывной функции. То он сходится на K равно­мерно.

14. Условия комм. 2х пр.пер:

Th: {F_t ; tT }, F_t: X C; B_X – база в X, B_T– база в T. Если при базе B_T cем-во сх. равн. на X к F: XC, а t 

то  оба повторных предела

и имеет место равенство этих пределов.

12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:

u₁(x)+…+u_n(x)+… сходится абсолютно и равно­мерно на множестве X, если существует сходя­щийся числовой ряд c₁+c₂+…+c_n+…

такой, что

30. Собственные , их интег-е.

Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида

Если t  явл. собственным, то F есть собствен­ный интеграл, зав. от параметра.

Th: Если ф-я f : PR непрерывна в прямоугольн­ике P={(x,y)R²| x[a,b], y[c,d]}, то интеграл

интегрируем на отрезке [c,d] и имеет место рав-во

28. Компл. вар. теоремы Стоуна:

Если комплексная алгебра A функций f :XC не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C).

26. Банахова Алгебра в С(K).

Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством).

Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плот­ным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимиро­вать любую непре­рывную функцию f :KY.

24. Формула Стирлинга.

где

Или

22. Аналит. ф. в действ. обл.

40. Эйлеровы интегралы.

38. Интеграл Дирихле.

36. Непрерывность н.(пар):

Если а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)R²| x[a,), y[c,d]}, b) интеграл

то ф-я F(y) непрерывна на [c,d].

34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н..

Th: Пусть f(x,y), g(x,y) yY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b][a,]. Для равн.сх. интеграла

на мн-ве Y достаточно:

32. Несоб.(пар), КК РС.

Говорят, что несобственный интеграл

зав. от пар. yY, сх. равн. на мн-ве EY, если

КК: Чтобы несоб.  (1) сходился равномерно на множестве EY 

50. Ядра Дирихле.

D_n называется ядром Дирихле. Ядро Дирихле 2-периодично, четно, и, кроме того,

48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.

а) Если ф-я f(x) четная, то

б) если ф-я f(x) нечетная, то

Ряд Фурье в комплексной форме:

Th (О сх-ти в среднем): f(x)R([-,],C)

46. Предгильбертово пр-во.

Линейное нормированное пр-во бесконечной раз­мерности наз. предгильбертовым, если оно не по­лно по отношению к метрике, индуцированной ес­тественной нормой в нем.

44. Ортонорм. сист.в-в.

Система в-в наз. {e_k; kK} ортонормированной, если  i,jK < e_i ,e_j >=_i,j, где _i,j – символ Кронекера

Система {x_; A} в-в нормир.пр-ва X наз. полной по отношению к мн-ву E X, если xE можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.

В конечномерном пр-ве X полнота в X сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X.

Th: X– лин.пр-во со скал. пр-ем < , >; l₁,…,l_n,…– кон. или счет.сист.0 вз. ортогон.в-в X.  Эквив:

a){l_k} полна по отн. к E X;b)xE X им.место

42. Интеграл Пуассона

60. Теорема Планшереля.

L₂ – пополнение (S,d), d – метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rⁿ.

58. Пространство S(Rⁿ).

S(Rⁿ,C) – сов-ть всех ф-ций fC^(∞)(Rⁿ,C), удовлет­воряющих условию

такие ф-ции наз. быстро убывающими.

Если fS, то

Более того,

56. Пр-е Фурье свертки.

- Ф-лы, связывающие операции свертки и умноже­ния функций посредством пр.Фурье.

54. Теорема Фейера.

f : RC – 2-периодическая абс. инт-мая на [-,] ф-я. Тогда

a) если на E R f равномерно непрерывна, то

b) если fC(R,C), то

c) если f непрерывна в xR, то

__________________________________________

52. ДУ РС триг. ряда Фурье.

Th: Если f:[-,]C такова, что а) fC^(m-1)[-,], mN; b) f ^(j)(-)=f ^(j)(), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-,] непрерывную производную f ^(m) порядка m>=1,

то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномер­но на отрезке [-,], причем отклонение n-й час­тичной суммы S_n(x) ряда Фурье от f(x) на всем от­резке [-,] имеет оценку

где {_n}–стремящаяся к нулю посл-ть положите­льных чисел.