49559 (Генерация комбинаторных объектов)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Генерация комбинаторных объектов

Исполнитель:

Студентка группы М-43

Самусенко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Содержание

Введение 3

1 Множество всех подмножеств 4

2 Перестановки 7

3 Сочетания 11

4 Размещения 14

5 Перестановки с повторениями 17

6 Сочетания с повторениями 20

Заключение 23

Литература 24

Введение

Существует набор задач, решение которых заключается в генерации всех элементов таких комбинаторных объектов как множество всех подмножеств, перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями, сочетания с повторениями.

Для каждого сгенерированного элемента затем проверяются какие-то свойства для конкретной задачи.

В дальнейшем в данной работе предлагается следующий порядок изложения материала для каждого комбинаторного объекта: пример, алгоритм, программа, комментарии к программе.

1 Множество всех подмножеств

Пусть мы имеем множество из 4-х компонент - которые мы обозначаем латинскими буквами A, B, C, D соответственно.

И пусть по условиям задачи требуется выбрать подмножество, состоящее из нескольких компонент, обладающее некоторым свойством. Предлагается такой способ решения задачи: мы генерируем ВСЕ возможные подмножества данного множества и для каждого из сгенерированных подмножеств проверяем удовлетворяет ли оно заданному свойству. Альтернативный вариант задачи - подсчитать ВСЕ подмножества данного множества, обладающие заданным свойством.

Например:

Для множества из 4-х символов A,B,C,D множество всех подмножеств включает в себя следующие множества:

Пустое множество

Одноэлементные множества: {A}, {B}, {C}, {D}

Двухэлементные множества: {A,B}, {A,C}, {A,D} {B,C}, {B,D}, {C,D}

Трехэлементные множества: {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}

Четырехэлементное множество: {A,B,C,D}

В случае, если порядок генерации подмножеств не играет роли (а, например, в случае необходимости подсчитать все подмножества, обладающие заданным свойством, так оно и есть) один из наиболее просто кодируемых алгоритмов генерации множества всех подмножеств выглядит следующим образом.

Заведем вектор B, состоящий из четырех чисел, каждое из которых может принимать значение 0 или 1. И будем считать, что значение 1 указывает на то, что соответствующий по номеру компонент исходного множества включается в множество, а значение 0 указывает на то, что элемент не включается.

Рассмотрим теперь последовательность двоичных чисел от 0 до 15 и соответствующие им подмножества:

4321

DCBA

0000 - Пустое множество

0001 A

0010 B

0011 AB

0100 C

0101 AC

0110 BC

0111 ABC

1000 D

1001 AD

1010 BD

1011 ABD

1100 CD

1101 ACD

1110 BCD

1111 ABCD

Таким образом, всего имеется 16 различных подмножеств множества из 4-х элементов. В общем случае множество всех подмножеств множества из N элементов содержит 2N (два в степени N) элементов.

Алгоритм, обеспечивающий такую генерацию множества всех подмножеств из N элементов, может быть неформально описан следующим образом:

Формируем массив, состоящий из N нулей - и рассматриваем его как пустое множество. Таким образом, начальное значение текущего подмножества - пустое множество.

Для получения следующего подмножества из текущего подмножества обрабатываем текущий массив из чисел 0 или 1 следующим образом:

Справа (от первого элемента массива к последнему) ищем первое число, равное нулю.

Если такое число не найдено - значит, текущее подмножество является последним - множеством, состоящим из всех элементов, и на этом алгоритм заканчивает свою работу.

Если же элемент равный 0 найден, то он заменяется на 1, а все числа справа от него (если таковые имеются) заменяются на нули.

Более формализовано этот алгоритм может быть записан следующим образом:

Ввод (N)

Обнуление массива B из N+1 элемента

Вывод (Пустое множество)

Пока B[N+1]=0

i=1

Пока B[i]=1 делать B[i]=0, i=i+1

B[i]=1

Вывод (множества, определяемого массивом B)

Ниже приводится текст программы, которая считывает N - число элементов в множестве и выводит на экран множество всех подмножеств обозначая элементы соответствующими по порядку латинскими буквами:

const

alphabet : string[26] = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ';

var

b : array [1..100] of byte;

N,i : byte;

begin

readln(N);

for i:=1 to N+1 do b[i]:=0;

writeln ('Пустое множество');

while (b[N+1]=0) do

begin

i:=1;

while B[i]=1 do

begin B[i]:=0; inc(i); end;

B[i]:=1;

for i:=1 to n do

if b[i]=1 then write(alphabet[i]);

writeln;

end;

end.

При необходимости обрабатывать (анализировать) построенные подмножества могут быть добавлены вызовы процедур обработки, получающие в качестве параметра массив B (указывающий своими единичными элементами номера элементов множества, включенных в текущее подмножество).

2 Перестановки

Пусть мы имеем 4 компонента, обозначенные буквами A, B, C, D соответственно.

Тогда множество всех перестановок из этих компонент будет включать следующие элементы:

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

Проиллюстрируем сначала алгоритм построения следующей перестановки на примере перестановок из 9 компонент, обозначенных соответственно цифрами от 1 до 9.

Первая из таких перестановок это

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Пусть текущая перестановка из 9 компонент:

1 9 5 8 4 7 6 3 2

Каким будет следующее значение перестановки, если мы строим ее в лексикографическом порядке (то есть в порядке возрастания величины числа, составленного из этих цифр)?

Правильный ответ таков :

1 9 5 8 6 2 3 4 7

Как он получается?

Прежде всего, необходимо просматривать исходный массив от конца к началу, что бы найти первое число, которое МЕНЬШЕ предыдущего в нашем случае - это 4

(7>6>3>2, а 4<7)

Далее среди просмотренных чисел справа от найденной 4 мы ищем последнее число которое больше 4. Это число 6.

(7>4, 6>4, 3<4, 2<4)

Затем меняем эти 2 найденных числа (4 и 6) местами, получаем:

1 9 5 8 6 7 4 3 2

И теперь числа (справа от 6), которые составляют убывающую последовательность (7 4 3 2) , попарно меняем местами так, что бы они составили возрастающую последовательность (2 3 4 7) :

1 9 5 8 6 2 3 4 7

Это и есть следующая перестановка.

А какая перестановка будет последней для данного примера?

Надеюсь, что вдумчивый читатель догадался и сам:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Несколько неформально алгоритм построения следующей перестановки по текущей может быть записан следующим образом:

1. От конца к началу перестановки ищем первый элемент B[i] такой, что B[i]

2. От элемента I+1 до конца ищем последний элемент, больший чем B[i], запоминаем его индекс - K

3. Меняем местами эти элементы - с номерами I и K

4. Всю группу элементов от i+1-го элемента до N-го попарно меняем местами (i+1-ый элемент с N-ым, i+2-ой элемент с N-1-ым и т.д.)

Формализовано алгоритм генерации всех перестановок из N элементов может быть записан следующим образом:

Ввод N

Прописываем массив B последовательно числами от 1 до N

Это первая - начальная - перестановка, выводим ее

Пока (истина)

i=N

Пока (i>0) и (B[i]>=B[i+1]), i=i-1

Если i=0 то конец работы

Для j от i+1 до N

если B[j]>B[i] то K=j

Обмен значений B[i] и B[k]

Для j от i+1 до (i+ ((N+1-i) div 2))

Обмен значений B[j] и B[N+i+1-j]

Вывод текущей перестановки B

Понятно, что цикл попарных перестановок "хвоста" массива B нельзя делать от i+1 до N-го элемента - иначе элементы поменяются местами по 2 раза - и получиться, что ничего не изменилось. Цикл нужно выполнить для половины этого "хвоста". Этому и служит несколько сложное для понимания значение конечной переменной цикла: i+ (N+1-i) div 2

Ниже приводится программа, генерирующая все перестановки из N компонент, обозначенных N первыми буквами латинского алфавита.

const

alphabet : string[26] = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ';

var

b : array [1..100] of byte ;

N,i,j,k : byte;

Procedure SwapB(i,k:byte);

var x : byte;

begin

x:=B[i]; B[i]:=B[k]; B[k]:=x;

end;

Procedure WriteB;

begin

for i:=1 to N do write({alphabet[b[i]]);

writeln;

end;

begin

readln(N);

for i:=1 to N do b[i]:=i;

WriteB;

while (true) do

begin

i:=N;

while (i>0) and (B[i]>=B[i+1]) do i:=i-1;

if i=0 then exit;

for j:=i+1 to N do

if (B[j]>B[i]) then K:=j;

SwapB(i,k);

for j:=i+1 to (i+ ((N+1-i) div 2))

do SwapB(j,N+i+1-j);

writeB;

end;

end.

В программе введены 2 процедуры WriteB и SwapB.

Процедура WriteB вызывается всякий раз, когда построена очередная перестановка. В данной программе процедура WriteB просто выводит соответствующую последовательность латинских букв.

Процедура SwapB(i,k) введена для упрощения понимания главной программы. SwapB просто обменивает значениями два элемента массива B - те, которые имеют индексы, соответствующие значениям параметров процедуры i и k.

Процедура SwapB используется в тексте программы два раза

1) При обмене значениями двух найденных элементов с индексами I и K.

2) При обеспечении попарного обмена элементов "хвоста", в котором текущий элемент с индексом j обменивается местами со своим "партнером", находящимся на позиции N+i+1-j. Таким образом, I+1-ый элемент поменяется (при J=I+1) местами с N-м элементом, I+2-ой элемент (при J=I+2) с N-1-ым и т.д.

Общее число перестановок из N элементов равно N! (читается N факториал). Напомним, что N! = 1*2*3*...*N

3 Сочетания

Пусть имеем 5 компонент, обозначенных латинскими буквами A, B, C, D, E соответственно.

Тогда все сочетания из этих 5 компонент по 3, выписанные в лексикографическом порядке (для букв и цифр от 1 до 5) будут таковы:

ABC 123

ABD 124

ABE 125

ACD 134

ACE 135

ADE 145

BCD 234

BCE 235

BDE 245

CDE 345

Неформально алгоритм генерации последовательности чисел в лексикографическом порядке можно записать следующим образом. Выберем наименьшие M из имеющихся N чисел и выпишем их в порядке возрастания - и выпишем их в порядке возрастания - 1 2 3 - это начальное сочетание. Очевидно, что наибольшие M чисел из имеющихся (3 4 5), выписанные в порядке возрастания, составят последнее сочетание.

Для того, что бы по текущему сочетанию получать следующее, можно поступать следующим образом:

Находим позицию в текущем сочетании, на которой не стоит последнее из возможных значений, и затем увеличиваем его на 1. А все последующие элементы сочетания получаем увеличением на 1 предыдущего элемента сочетания.

Например пусть текущее сочетание

1 3 5

Анализ начинаем с последней позиции сочетания.

5 - это последнее возможное значение, потому переходим к предыдущей позиции. 3 - это не последнее возможное значение для этой позиции (каковым является 4 в данном случае). Потому мы его увеличиваем на 1 - получаем 4. А число в следующей позиции получаем прибавлением 1 к этой 4-ке - и получаем 5. Таким образом следующее значение будет 1 4 5

Более формализовано этот алгоритм может быть записан следующим образом:

Ввод N, M (из сколька, по сколько)

Заносим в массив B числа от 1 до M

Это первое сочетание, выводим его

Пока (истина)

i=M

Пока (i>0) и (b[i]=N-m+i), i=i-1

Если i=0 то работа завершена

B[i]=B[i]+1

Для j от i+1 до M B[j]=B[j-1]+1;

Вывод B - следующей перестановки

Ниже приводится программа, которая считывает с клавиатуры значения N и M и выводит в лексикографическом порядке все сочетания из N первых латинских букв по M.

uses crt;

const

alphabet : string[26] = 'ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ';

var

b : array [1..100] of byte;

N,M,i,j,k : byte;

Procedure WriteB;

begin

for i:=1 to M do write(alphabet[b[i]]);

writeln;

end;

begin

readln(N,M);