46007 (5 различных задач по программированию)

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Прикладная математика"

Москва 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛИНЕЙНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПИТАЛЬНЫХ ВЛОЖЕНИЙ

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ЗАПАСАМИ...

МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ

МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ И СОТРУДНИЧЕСТВА

АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

ЛИТЕРАТура

ЛИНЕЙНАЯПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида

ресурсов. Известна технологическая матрица Азатрат любого ресурса на единицу

каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

(1)

Требуется составить производственную программу (x1, x2, x3, x4), максимизирующую

прибыль

(2)

при ограничениях по ресурсам:

(3)

где по смыслу задачи (4)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при

помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5,х6, х7 заменим системой

линейных алгебраических

уравнений (5)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.

Среди всех решений системы уравнений (5),удовлетворяющих условию

неотрицательности х1³0, х2³0,… ,х5³0,…, х7³0. (6)

надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а

сама система имеет предпочитаемый вид –дополнительные переменные являются

базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4,

получаембазисное неотрицательное решение

x1=0, x2=0, x3=0,x4=0, x5=103, x6=148, x7=158 (7)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x1=0,

x2=0, x3=0, x4=0(8)

по которой мы пока ничего не производим. Из выражения (2) видно, что наиболее

выгодно начинать производить продукцию первого вида,так как прибыль на единицу

продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше

прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяютувеличить выпуск этой

продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (5) общее решение

(9)

Мы пока сохраняем в общем решении х2=х3=х4=0и увеличиваем только х1. При этом

значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к

системе неравенств

или т.е. 0 £ х1 £ 37

Дадим х1 наибольшее значение х1 =37, которое она может принять при нулевых

значениях других свободных неизвестных, иподставим его в (9). Получаем для

системы уравнений (5) частное неотрицательное решение х1=37, х2=0,х3=0,

х4=0; x5=29; x6=0; x7=84 (10)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным

решением системы линейных алгебраических уравнений (5), дляполучения которого

достаточно было принять в системе (5) неизвестную х1 за разрешающую и перейти к

новому предпочитаемому виду этой системы, сохранивправые части уравнений

неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе,

так как

, а разрешающимэлементом будет а21=4.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой

таблицы 1.

~

внений (5) новый предпочитаемый эквивалент

2x2 + 4x3 + x5 - 1/2x6 = 29

x1 + 1/2x2 + 1/2x4 + 1/4x6 = 37 (11)

7x2 + 7x3 - x4 -1/2x6 + x7 = 84

Приравняв к нулю свободные переменные х2, х3, х4, х6, получаем базисное

неотрицательное решение,совпадающее с (10), причем первые четыре компоненты его

определяют новую производственную программу х1=37,

х2=0, х3=0,х4=0. (12)

Представим соотношение (2) в виде уравнения -36х1 - 14х2 - 10х3 - 13х4 = 0 – z

(13)

и припишем его к системе (5). Получается вспомогательная система уравнений

(14)

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (5) мы выбрали х1. Этой

переменной в последнем уравнении системы (14)отвечает наименьший отрицательный

коэффициент D1= -36. Затеммы нашли разрешающий элемент а21=4 и исключили

неизвестную х1 из всех уравнений системы (5), кроме второго. Далее нам пришлось

х1исключать и из функции (2). Теперь это можно сделать очень просто, если

посмотреть на систему уравнений (14). Очевидно, достаточно умножить

второеуравнение системы (14) на 9 и прибавить к четвертому; получим

-14х2 - 10х3 + 5х4 - 9х6 = 1332 – z

(15)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (14) к виду

(16)

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый

эквивалент (11) системы уравнений (5) и определяютбазисное неотрицательное

решение (10) и производственную программу (12), а из последнего уравнения

системы (16) получается выражение функции цели черезсвободные переменные.

Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит

для системы (5) новое базисное неотрицательноерешение и уже третью

производственную программу, для исследования которого нам придется выразить

функцию z=1332+14x2+10x3-5x4-9x6через новые свободные переменные, удалив оттуда

переменную х2, ставшую базисной.

Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент Dj прикакой-нибудь

переменной xj в последнем уравнении системы (16), то производственная программа

не является наилучшей и можно далее продолжатьпроцесс ее улучшения. Мы нашли в

последнем уравнении системы (16) наименьший отрицательный коэффициент

min(Dj<0) =min(-14,-10) = -14 = D2. Поэтому принимаем х2 в системе (11) за

разрешающую неизвестную, находимразрешающее уравнение по

(17)

и исключаем х2 из всех уравнений системы (11), кроме третьего уравнения. Укажем

разрешающий элемент а32=7.

Теперь мы будем преобразовывать вспомогательную систему (16), по формулам

исключения.

a`ij=aij – (ais/ars)*arj

a`iq=aiq – (ais/ars)*arq

b`i=bi - (ais/ars)*br

b`r=br/ars

s=1, r=2

a`11=0

a`13=4-2/7*7=2

a`14=0+2/7 *1=2/7

a`15=1

a`16= -5/14

a`17=0-2/7*1=-2/7

a`21=1

a`23= -1/2

a`24=4/7

a`25=0

a`26=2/7

a`27= -1/14

a`31= a31/a32=0

a`32=1

a`33= a33/a32=1

a`34= -1/7

a`35= 0

a`36=-1/14

a`37=1/7

a`41= 0

a`42= -14+2*7=0

a`43= 4

a`44=3

a`45=0

a`46=8

a`47=2

a`12=a`22=0

b`1=29-84/7*2=5

b`2=37-84/7*1/2=31

b`3=84/7=12

Эта система преобразуется к виду

2 x3 + 2/7 x4 + x5 – 5/14 x6– 2/7 x7 = 5

x1 - Ѕ x3 + x4 + 2/7 x6 – 1/14 x7 = 31

(18)

x2 + x3 - 1/7 x4 – 1/14 x6 + 1/7 x7 = 12

4 x3 + 3 x4 + 8 x6 + 2x7 = 1500

- z

Первые три уравнения системы (18) представляют некоторый предпочитаемый

эквивалент системы уравнений (5) и определяют базисноенеотрицательное решение

системы условий рассматриваемой задачи

x1=37, x2=0, x3=0, x4=0, x5=29, x6=0, x7=84

(19)

т.е. определяют производственную программу x1=37, x2=0, x3=0, x4=0 (20)

и остатки ресурсов:

первого вида х5=5

второго вида х6=0

(21)

третьего вида х7=0

Последнее уравнение системы (18) мы получаем, исключая х2. В последнем уравнении

системы (18) среди коэффициентов принеизвестных в левой части уравнения нет ни

одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через

остальные неотрицательныепеременные

z = 1500 - 4 x3 - 3 x4 - 8 x6 - 2x7 (22)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj³0), чтоприбыль будет

наибольшей тогда, когда

x3=0, x4=0, x6=0, x7=0

(23)

Это означает, что производственная программа (20) является наилучшей и

обеспечивает предприятию наибольшую прибыль zmax= 1500

(24)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы

условий задачи, мы пришли к оптимальнойпроизводственной программе и указали

остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки

последней симплексной таблицы. Например, коэффициентD3=4 при переменной х3

показывает, что если произвести одну единицу продукциитретьего вида (она не

входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 4

единиц.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x3=0, x4=0.

Предположим, что четвертую и третьюпродукции мы не намеревались выпускать с

самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранивих

нумерацию. Математическая модельзадачи будет выглядеть следующим образом:

Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение

производственной программы (x1=0, x2=0) ® (x1=37,x2=0) ® (x1=31, x2=12) на

графике означает движение от одной вершины многогранникадопустимых решений к

другой вершине по связывающей их стороне многоугольника.

ДВОЙСТВЕННАЯЗАДАЧА

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску

четырехвидов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным

технологиям.

Теперь представим себе, что знакомый предприниматель П, занимающийся

производством каких-то других видов продукции, но сиспользованием трех таких же

видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным

ценам все имеющиеся у нас ресурсы иобещает платить у1 рублей за каждую единицу

первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при

каких ценаху1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П.

Величины у1, у2, у3принято называть расчетными, или двойственными, оценками

ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов

В и вектор удельной прибыли С имели вид

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно

изматрицы А, 2 единицы ресурса первого вида, 4 единицы ресурса второго вида и 2

единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2,у3 наши

затраты составят 2у1 + 4у2 + 2у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все

ресурсы, идущие на производствоединицы продукции первого вида. На рынке за

единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем

согласиться с предложениемП только в том случае, если он заплатит не меньше 2у1

+ 4у2 + 2у3 ³36.

Аналогично, для трех оставшихся видов продукции:

3у1 + 2у2 + 8у3³32

4у1 + 7у3³10

у1 + 2у2 ³13

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 103у1 + 148у2 +

158у3рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие

значения величин у1, у2, у3, чтобы эта суммабыла как можно меньше. Подчеркнем,

что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали этиресурсы,

а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий,

объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к

задачелинейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у1, y2,

y3)минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 103у1 +

148у2 + 158у3 (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов,

затрачиваемых на производство единицы продукции, неменьше прибыли, получаемой от

реализации единицы этой продукции

2у1 + 4у2 + 2у3 ³ 36

3у1 + 2у2 + 8у3³32 (2)

4у1 + 7у3³10

у1 + 2у2 ³13

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y10, y20, y30. (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы

двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х1, х2,

х3, х4) и (y1, y2, y3) парыдвойственных задач необходимо и достаточно

выполнение условий

x 1 (2у1 + 4у2 + 2у3 - 36) = 0 y1 (2x1 +3x2+ 4x3

+ x4 - 103) = 0

x 2 (3у1 + 2у2 + 8у3 - 32) = 0 y2 (4x1 +2x2

+ 2x4 - 148) = 0

x 3 (4у1 + 7у3- 10) = 0 y3 (2x1 +8x2 +

7x3 - 158) = 0 .

x 4 (у1 + 2у2 - 13) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0, x2>0. Поэтому

2y1 +4y2 + 2y3 - 36 =

0

3y1 + 2y2

+8y3 - 32 = 0

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным и, согласно той же теореме

двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у1=0,

то приходим к системе уравнений

4y2 + 2y3 -36 = 0

2y2 + 8y3 - 32 = 0

откуда следует у2=8, у3=2.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=0; у2=8;

у3=2, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1500.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной

таблицыисходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например,

двойственная оценка третьего ресурса у3=2 показывает, что добавлениеодной

единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 2 единицы.

ЗАДАЧА О "РАСШИВКЕ УЗКИХ МЕСТ ПРОИЗВОДСТВА"

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы

используются полностью, т.е. образуют ²узкиеместа производства². Будем их

заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)-вектор дополнительных объемов

ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов,

то должно выполняться условие H + Q-1T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (0, t2, t3), максимизирующий

суммарный приростприбыли W = 8t2 + 2t3

(1) при условии сохранения двойственныхоценок ресурсов (и,

следовательно, структуры производственной программы)

(2)

предполагая, что можно надеяться получить

дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждоговида

(3)

причем по смыслу задачи t2 0, t3 0.

(4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

(5)

из условия (3) следует t2£148/3, t3£158/3 (6)

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 2. Программа ²расшивки² имеет вид

t1=0, t2=14, t3=0 и прирост прибыли составит 112.

Сводка результатов приведена в таблицe 2.

сj 36 32 10 13 b x4+i yi ti

2 3 4 1 103 5 0 0

aij 4 2 0 2 148 0 8 14

2 8 7 0 158 0 2 0

xj 31 12 0 0 1500 112

Dj 0 0 4 3

ТРАНСПОРТНАЯЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Однородный продукт, сосредоточенный в 3 пунктах производства (хранения) в

количествах 40;60; 70 единиц, необходимо распределить между 4 пунктами

потребления, которым необходимо соответственно 36; 32; 40; 53 единиц. Стоимость

перевозки единицыпродукта из пункта отправления в пункт назначения известна для

всех маршрутов и равна С = . Необходимо составить план перевозок, при

котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся

продуктов впунктах производства и общие транспортные расходы по доставке

продуктов были минимальными.

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов.

Общий объем производства åаi =40+60+70=170 больше, чемтребуется всем

потребителям åbi = 36+32 +40 +53 =161, т.е. имеем открытую модель транспортной

задачи. Для превращенияее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с

объемом потребления 170-161 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт