45929 (Решение нелинейных уравнений)

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения

F(x)=0

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

Алгебраические

anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0

Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом

тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем

уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул

определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые

позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания

корней делиться на два этапа:

Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией

или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть

которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся к корню x0

Выходом из итерационного процесса являются условия:

│f(xn)│≤ε

│xn-xn-1│≤ε

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и

касательных.

2 п. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке

[a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0

Суть метода

Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x0=(a+b)/2, получается

два отрезка [a,x0] и [x0,b], далее выполняется проверка знака на концах,

полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x0)≤0 или f(x0)*f(b)≤0

снова проводится деление пополам координатой х, снова выделение нового отрезка и

так продолжается процесс до тех пор пока │xn-xn-1│≤ε

3п. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке

[a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.

Суть метода

Дано f(x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=φ(x) (2). Выберем грубое,

приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть

уравнения (2), получим:

x1= φ(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:

x2= φ(x1) (4)

x3= φ(x2) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x*= φ(x*) (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в

каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся.

4 п. Метод касательных (Ньютона).

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке

[a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x).

Определить корень с точностью ε.

Суть метода

Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)

Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с осью

абсцисс, получим значение х1

5п. Задание для РГР

Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ε=10-4 методами половинного деления, итерации,

касательных.

6 п. Сравнение методов

Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой

вычислительного процесса, скоростью сходимости.

Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует

определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая меняет

знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к функциям более

жесткие требования, но они обладают высокой скоростью сходимости.

Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для пологих

функций.

Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.

CLS -

a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)

IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT "УТОЧНИТЬ КОРНИ": END

GOSUB 1

x0 = a

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT "НЕ СХОДИТСЯ"

DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35

GOSUB 2

x0 = b

F = FNZ(x0)

DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _

IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x))) <

then print “не сходится”:end

GOSUB 3

END

'=========Метод половинного деления========

1 x = (a + b) / 2: T = T + 1

F3 = FNZ(x)

IF ABS(F3) < E THEN 5

IF F1 * F3 < 0 THEN b = x ELSE a = x

IF ABS(b - a) > E THEN 1 -

5 PRINT "X="; x, "T="; T

RETURN

'=========Метод итерации==========

2 x0 = a

12 X2 = FNF(x0): S = S + 1

IF ABS(X2 - x0) > E THEN x0 = X2: GOTO 12

PRINT "X="; X2, "S="; S

RETURN

'========Метод касательных=======

3 x0 = b

23 D = D + 1

F = FNZ(x0): F1 = FND(x0)

X3 = x0 - F / F1

IF ABS(X3 - x0) < E THEN 100

IF ABS(F) > E THEN x0 = X3: GOTO 23

100PRINT "X="; X3, "D="; D

RETURN

Ответ

x= 2,29834 T=11

x=2,29566 S=2

x=2,29754 D=2

где T,S,D-число итерации для метода половинного деления, итерации, касательных

соответственно.