ref-19988 (Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера), страница 2

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (2.5.1)

с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀ (2.5.2)

Требуется найти решение уравнения (2.5.1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (2.5.1), которая проходит через точку М_i. Если правая часть уравнения (2.5.1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|a, |y-y₀|b}удовлетворяет условиям:
|f(x, y₁)- f(x, y₂)|  N|y₁-y₂| (N=const), (2.5.3)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)|  M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n|  hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (2.5.4)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения (2.5.1) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

|y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|. (2.5.5)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.5.1) y^/=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рис.1 Метод Эйлера в графическом видa

Получаем точку М_к(х_к,у_к). Через М_к проводим касательную: у=у_к=f(x_k,y_k)(x-x_k). Делим отрезок (х_к,х_к1) пополам:

x_Nk^/=x_k+h/2=x_{k+1/2 (2.5.6)}

y_Nk^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=α_{k (2.5.7)}

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

у_к+1=у_к+α_кh

x_k+1=x_k+h

(2.5.8) α_k=f(x_k+h/2, y_k+f(x_k,Y_k)h/2)

y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h

(2.5.8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют у_к+1.

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| у_к^*-у(х_к)|=1/3(y_k^*-y_k), (2.5.9)

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y^//=f(y^/,y,x) c начальными условиями y^/(x₀)=y^/₀, y(x₀)=y₀, выполняется замена:

y^/=z (2.5.10)

z^/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀, z₀=y^/₀. (2.5.12)

3.Описание алгоритмов решения задачи

3.1.Описание переменных.

3.2. Блок- схема главного модуля

3.3 Описание алгоритма главной программы.

3.4 Блок-схема функции “func”.

3.5 Описание блок- схемы функции “func”.

*Реализация алгоритма на языке программирования C++ представлена в приложении .

4.Описание программного обеспечения.

4.1 Описание операционной системы

Основное требование к операционной системе (ОС), предъявляемое поставленной задачей, это наличие ANSI или POSIX совместимого компилятора языка C++.

Для реализации задачи была выбрана последняя клиентская версия операционной системы Microsoft, основанная на ядре NT – Microsoft Windows XP Professional.

Указанная операционная система обладает рядом преимуществ:

• наличие достаточного количество ANSI или POSIX совместимых компиляторов языка C++, разработанных для данной ОС, а именно –

  • Microsoft C++ (version 2-6)

  • gcc

  • Borland C++

  • Intel C++

  • прочие;

• достаточная управляемость, надежность и безопасность;

• широкое распространение основанных на ядре NT операционных систем Microsoft, совместимых по программному обеспечению с Windows XP Professional (NT/2000/XP/2003 – client & server);

• высокая скорость работы приложений, разработанных для данной ОС с использованием компиляторов C++.

Исходный код программы может быть откомпилирован и под другой операционной системой, если для таковой имеется ANSI или POSIX совместимый компилятор языка C++.

Программа была протестирована на операционной системе Microsoft Windows XP Professional SP1.

Технические данные :

• HDD: 60 Gb

• Процессор x86 Family 15 Model 2 Stepping 7 GenuineIntel ~1817 МГц

• Версия BIOS Award Software International, Inc. F4, 06.03.2003

• Аппаратно-зависимый уровень (HAL) Версия = "5.1.2600.1106 (xpsp1.020828-1920)"

• Полный объем физической памяти 256,00 МБ

• Доступно физической памяти 29,97 МБ

• Всего виртуальной памяти 873,69 МБ

• Доступно виртуальной памяти 350,04 МБ

• Файл подкачки 618,21 МБ

4.2 Описание языка программирования

Язык программирования С++

С++ - это универсальный язык программирования, задуманный так, чтобы сделать программирование более приятным для серьезного программиста. За исключением второстепенных деталей С++ является надмножеством языка программирования C. Помимо возможностей, которые дает C, С++ предоставляет гибкие и эффективные средства определения новых типов. Используя определения новых типов, точно отвечающих концепциям приложения, программист может разделять разрабатываемую программу на лег ко поддающиеся контролю части. Такой метод построения программ часто называют абстракцией данных. Информация о типах содержится в некоторых объектах типов, определенных пользователем. Такие объекты просты и надежны в использовании в тех ситуациях, когда их тип нельзя установить на стадии компиляции. Программирование с применением таких объектов часто называют объектно-ориентированным. При правильном использовании этот метод дает более короткие, проще понимаемые и легче контролируемые программы.

В С++ нет типов данных высокого уровня и нет первичных операций высокого уровня. В нем нет, например, матричного типа с операцией обращения или типа строка с операцией конкатенации. Если пользователю понадобятся подобные типы, их можно определить в самом языке. По сути дела, основное, чем занимается программирование на С++ - это определение универсальных и специально-прикладных типов. Хорошо разработанный тип, определяемый пользователем, отличается от встроенного типа только способом определения, но не способом использования.

Реализация С++ очень легко переносима. Однако есть полные основания использовать С++ в среде, где имеется гораздо более существенная поддержка. Такие средства, как динамическая загрузка, пошаговая трансляция и база данных определений типов могут с пользой применяться без воздействия на язык.