45345 (Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией)

20

МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ИНФОРМАТИКЕ

на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ

Работу выполнила:

студентка I курса

специальности РРТ (ускор.)

Турчина

шифр: 011р-469

2001 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Индивидуальное задание - 3

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши - 4

1.1. Теоретические сведения - 4

1.2. Ручной расчёт решаемой задачи - 6

2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9

2.1. Теоретические сведения - 9

2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений - 10

3. Решение системы уравнений методом Гаусса - 11

4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13

5. Расчёт погрешности аппроксимации - 14

6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16

Литература - 21

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / 0.3 ) с начальными условиями x₀ = 0.7 y₀ = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1.

2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши.

3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов.

4. Рассчитать погрешность аппроксимации.

5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.

6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать :

- значения функции y( x_i ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках x_i, найденные с шагом h и с шагом h/2 ;

- значения аппроксимирующей функции F( x_i ) в точках x_i ;

- значение погрешности аппроксимации _i = F( x_i ) - y_i.

- величину средне - квадратичного отклонения.

1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x₀, т.е. y(x₀) = y₀, а так же интервал [ x₀ - x_n ].

Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

y_i+1 = y_i + h f( x_i ; y_i ), где i = 0,1,2 ... n

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_i+1)) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (x_n - x_o) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.

Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

1. РУЧНОЙ РАСЧЁТ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ

По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / 0.3 ) с начальными условиями x₀ = 0.7, y₀ = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1 .

По формуле метода Эйлера -Коши

y_i+1 = y_i + h f( x_i ; y_i ),

y_{i+1 =} y_i + h (f( x_i ; y_i ) + f( x_i+1 ; y_i+1)) / 2

Найдем y_1 и y₁

f( x₀ ; y₀ ) = 0.7 + cos (2.1 / 0.3 ) = - 0.069675

x₁ = x₀ + h = 0.7 + 0.1=0.8

y_1* = y₀ + h * f( x₀ ; y₀ ) = 2.1 + 0.1 * (- 0.069675) = 2.093032

y₁ = y₀ + h * (f( x₀ ; y₀ ) + f( x₀ + h ; y_1* )) / 2 = 2.1 + 0.1 * ((- 0.069675) + 0.022266)/2 =

= 2.09763

Аналогично найдём остальные значения x и y :

f( x₁ ; y₁ ) = 0.8 + cos (2.09763/ 0.3 ) = 0.02757

x₂ = 0.8 + 0.1 = 0.9

y_2* = 2.09763 + 0.1 * 0.02757 = 2.100387

y₂ = 2.09763 + 0.1 * (0.02757 + 0.130776) / 2 = 2.105547

f( x₂ ; y₂ ) = 0.9 + cos (2.105547 / 0.3 ) = 0.136831

x₃ = 0.9 + 0.1 = 1

y_3* = 2.105547 + 0.1 * 0.136831 = 2.11923

y₃ = 2.105547 + 0.1 * (0.136831 + 0.25321) / 2 = 2.125049

f( x₃ ; y₃ ) = 1 + cos (2.125049 / 0.3 ) = 0.260317

x₄ = 1+ 0.1 = 1.1

y_4* = 2.125049 + 0.1 * 0.260317 = 2.1510807

y₄ = 2.125049 + 0.1 * (0.260317 + 0.393124) / 2 = 2.157721

f( x₄ ; y₄ ) = 1.1 + cos (2.157721 / 0.3 ) = 0.401751

x₅ = 1.1 + 0.1 = 1.2

y_5* = 2.157721+ 0.1 * 0.401751 = 2.1978961

y₅ = 2.157721 + 0.1 * (0.401751 + 0.556089) / 2 = 2.205613

f( x₅ ; y₅ ) = 1.2 + cos (2.205613 / 1.3 ) = 0.566933

x₆ = 1.2 + 0.1 = 1.3

y_6* = 2.205613 + 0.1 * 0.566933 = 2.2623063

y₆ = 2.205613 + 0.1 * (0.566933 + 0.750302) / 2 = 2.271475

f( x₆ ; y₆ ) = 1.3 + cos (2.271475 / 0.3 ) = 0.764362

x₇ = 1.3 + 0.1 = 1.4

y_7* = 2.271475 + 0.1 * 0.764362 = 2.347911

y₇ = 2.271475 + 0.1 * (0.764362 + 0.987033) / 2 = 2.359045

f( x₇ ; y₇ ) = 1.4 + cos (2.359045/ 0.3 ) = 1.005629

x₈ = 1.4 + 0.1 = 1.5

y_8* = 2.359045 + 0.1 * 1.005629 = 2.4596079

y₈ = 2.359045 + 0.1 * (1.005629 + 1.280033) / 2 = 2.473328

f( x₈ ; y₈ ) = 1.5 + cos (2.473328 / 0.3 ) = 1.304536

x₉ = 1.5+ 0.1 = 1.6

y_9* = 2.473328 + 0.1 * 1.304536 = 2.6037816

y₉ = 2.473328 + 0.1 * (1.304536 + 1.6414317) / 2 = 2.620626

f( x₉ ; y₉ ) = 1.6 + cos (2.620626 / 0.3 ) = 1.6721351

x₁₀ = 1.6 + 0.1 = 1.7

y_10* = 2.620626 + 0.1 * 1.6721351 = 2.7878395

y₁₀ = 2.620626 + 0.1 * (1.6721351 + 2.068584) / 2 = 2.807662

Для оценки погрешности вычислений найдём решение дифференциального уравнения с шагом h / 2 до третьей точки:

f( x₀ ; y₀ ) = 0.7 + cos (2.1 / 0.3 ) = - 0.069675

x₁ = 0.7 + 0.05 = 0.75

y_1* = 2.1 + 0.05 * (- 0.069675) = 2.096516

y₁ = 2.1 + 0.05 * ((- 0.069675) + ( - 0.02372)) / 2 = 2.097665

f( x₁ ; y₁ ) = 0.75 + cos (2.097665 / 0.3 ) = - 0.022389

x₂ = 0.75 + 0.05 = 0.8

y_2* = 2.097665 + 0.05 * (- 0.022389) = 2.096546

y₂ = 2.097665 + 0.05 * ((- 0.022389) + 0.026314) / 2 = 2.097763

f( x₂ ; y₂) = 0.8 + cos (2.097763 / 0.3 ) = 0.027724

x₃ = 0.8 + 0.05 = 0.85

y_3* = 2.097763 + 0.05 * 0.027724 = 2.0991492

y₃ = 2.097763 + 0.05 * (0.027724 + 0.079334) / 2 = 2.10044

f( x₃ ; y₃) = 0.85 + cos (2.10044 / 0.3 ) = 0.080838

x₄ = 0.85 + 0.05 = 0.9

y_4* = 2.10044 + 0.05 * 0.080838 = 2.1044819

y₄ = 2.10044 + 0.05 * (0.080838 + 0.135575) / 2 = 2.10585

f( x₄; y₄) = 0.9 + cos (2.10585 / 0.3 ) = 0.137188

x₅ = 0.9 + 0.05 = 0.95

y_5* = 2.10585 + 0.05 * 0.137188 = 2.1127094

y₅ = 2.10585 + 0.05 * (0.137188 + 0.195345) / 2 = 2.114164

f( x₅; y₅) = 0.95 + cos (2.114164 / 0.3 ) = 0.19709

x₆ = 0.95 + 0.05 = 1

y_6* = 2.114164 + 0.05 * 0.19709 = 2.1240185

y₆ = 2.114164 + 0.05 * (0.19709 + 0.259053) / 2 = 2.125567

Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге:

y_i+1 = y_ih + (y_ih/2 - y_ih ) / (2^p - 1) , где:

р - порядок метода, для Эйлера - Коши р = 2

Рассчитаем погрешность вычисления в точке х = 1. Найдем уточненное решение:

y₍₁₎ = 2.125049 + (2.125567 - 2.125049) / (2² - 1) = 2.1252216

 _ih = 2^p (y_ih - y_ih/2) / (2^p - 1) = 2² (2.125567 - 2.125049) / 3 = 6.9 * 10 ^-4

 _ih/2 = (y_ih - y_ih/2) / (2^p - 1) = (2.125567 - 2.125049) / 3 = 1.73 * 10 ^-4

Таблица 1. Значения X и Y, полученные с помощью ручного расчёта.

График решения дифференциального уравнения представлен на рисунке 3.

1. АППРОКСИМАЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Исходя из постановки задачи, нужно аппроксимировать полученное в п.1. решение ( Таблица 1. ) параболой методом наименьших квадратов, т.е. нужно найти функцию, в данном случае параболу, которая в точках X ( I ) принимала бы значения, как можно более близкие к значениям Y ( I ). Парабола является функцией с тремя параметрами: F (x) = ax² + bx + c

Сумма квадратов разностей значений функции и решений дифференциального уравнения (Таблица 1.) должна быть минимальной, т.е.:

( ax² + bx + c - y_i )² => min

Функция будет иметь минимум, когда все частные производные равны нулю.

DF / da = 0, dF / db = 0, dF / dc = 0

После преобразований получим систему уравнений:

a₁₁a + a₁₂b + a₁₃c = b₁

a₂₁a + a₂₂b + a₂₃c = b₂

a₃₁a + a₃₂b + a₃₃c = b₃

где a₁₁ = , a₁₂ = a₂₁ = , a₁₃ = a₂₂ = a₃₁ = , a₂₃ = a₃₂ = x_i , a₃₃ = n + 1

b₁ = y_i , b₂ = x_i y_i , b₃ = y_i .

2.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассчитаем коэффициенты системы трёх линейных уравнений по формулам, взятым из п.2.2.: