MATHCAD (Пакет MathCAD), страница 3

Можно написать требуемую систему уравнений, зажав её между ключевым словом Given и функцией Find. Функция Find возвращает значения переменных, превращающих вышеперечисленные (до слова Given ) уравнения в тождества. Если уравнений более одного, то возвращаемые значения размещаются в векторе - в группе переменных, «зажатых в кулак», но этот «кулак», как мы уже отмечали, легко разжать, выводя на дисплей найденные значения с «первородной» размерностью массы (kg), длины (m) и времени (sec): пакет MathCAD «разжимает» и сам вектор, м составные размерности, приписывая к числам комбинации основных физических единиц. Но не только этим хороша размерность в задачах. Главное то , что она автоматически позволяет отслеживать «физические» ошибки. Если, к примеру, пользователь сложит секунды с метрами, то MathCAD «заругается» и выдаст протестующее сообщение incompatible units (несовместимые единицы).

Элегантность решения системы уравнений в среде MathCAD, не требующая кодирования алгоритма или поиска соответствующей внешней процедуры, имеет и обратную сторону : у пользователя возникают естественные в правильности решения. Протестировать нужно не только компьютер, но и пользователя : правильно ли он составил исходную схему ?

Сравнивая тип переменной с размерностью физической величины, мы тем самым провели аналогию между пакетом MathCAD и языком BASIK. Продолжим её. Повторяем : знак «: =» в среде MathCAD соответствует операторам Input и Let на языке BASIK, а знак «=» - оператору Print. В среде MathCAD слева от знака «:=» пользователь может написать переменную ( простую, с индексом, матрицу, вектор), а справа - выражение с переменными и функциями , определёнными выше и левее или встроенными в пакет MathCAD. Слева от знака «=» разрешено писать переменную или выражение, правая же часть - это область, всецело принадлежащая среде MathCAD, куда выводятся рассчитанные значения.¹ Это свойство дало пакету MathCAD второе название - суперкалькулятор : пользователь набрал сложнейшую формулу, нажал на клавишу «равно» - и ответ готов. А вот жирного знака «равно», разделяющего левую и правую части MathCAD - выражений, на языке BASIK, к сожалению, нет а почему!?

В языках QBASIK, Quick BASIK и Visual BASIK от фирмы Microsoft есть конструкции, обладающие свойством, которое с некоторой долей условности можно назвать полиморфизмом. Одно и то же ключевое слово меняет свой смысл в различных программных сюжетах. Так, упоминавшийся знак «=» - это и символ в операторе присвоения ( где Let давно уже не пишут ), и символ в булевом выражении. Другой пример - ключевые слова Mid$ и Time$, которые согласно документации по языку отмечают и встроенную функцию, и оператор языка:

A$ = Mid$(²COMPUTER², 3, 3) ¢Здесь Mid$ - функция

Mid$(A$, 2,1) =²$$$² ¢ Здесь Mid$ - оператор

StartTime$ = Time$ ¢ Здесь Time$ - функция

Time$ = ²12:30² ¢ Здесь Time$ - оператор

Когда ключевое слово Mid$ стоит в правой части оператора присвоения, оно означает встроенную функцию. Перенос же Mid$ в левую часть превращает его в оператор.

Второй пример не совсем правомерен : Time$ правильнее назвать не функцией и не оператором, а системной переменной. Системные переменные есть и в среде MathCAD.

Пакету MathCAD не грех перенять из языка BASIC некоторые полезные вещи. Ему в частности, очень не хватает цикла Do...Loop, в тело которого вставляется условие прерывания If...Then Exit Do. В среде MathCAD нельзя, например, в автоматическом режиме реализовывать метод последовательных приближений. Без цикла этот метод допустим только в полуавтоматическом режиме: пользователь задаёт первое приближение искомой переменной, а затем цепочкой формул, где фигурирует данная переменная, получает её новое значение. Расчёт повторяется в цикле с ручным переносом до тех пор, пока новая пара значений не удовлетворит пользователя. Можно поступить ещё проще - не переносить новое значение переменной в головку блока выражений, а продублировать блок нужное число раз. Если в таком алгоритме сходимости нет, то его всё равно используют, называя при этом методом научного тыка. Именно ему адресован полуавтоматический цикл.

Кроме того, нужно помнить, что более - менее сложная система нелинейных уравнений окажется не по зубам не только пакету MathCAD, но и другим мощным пакетам - Mathemateca, Maple, Gauss и др. MathCAD в такой ситуации выдаст сообщение Did not find solution (Решение не найдено), заставляя пользователя переходить к полуавтоматическому режиму - менять значения начального приближения и (или) величину точности TOL (TOLerance - точность, погрешность). Функция Find решает систему так, чтобы левые и правые части входящих в неё уравнений отличались на величину, не превышающую значения TOL. Это ещё одна предопределённая (системная) переменная среды MathCAD, хранящая по умолчанию значение 0.001, которое можно изменить, записав в MathCAD - документе выражение TOL : = 0.00000001, например. Но и это часто не помогает. Только при строго определённых начальных условиях пакет MathCAD находит правильное решение. Шаг влево, шаг вправо - расстрел! Малейший отход от начальных условий - и из слова Find «вырывается пламя»: красное сообщение Did not find solution в той же красной рамке. Но эта же задача с неограниченным диапазоном исходных данных прекрасно решается последовательными приближениями с поиском в цикле корня одного - единственного уравнения. Отход от лобовой атаки (от использования блока Given...Find) возможен лишь в том случае, если система уравнений не абстрактная, какие обычно приводятся в задачниках по математике, а реальная, отображающая конкретную (физическую, химическую, биологическую и т.д.) задачу. Кроме того прикладник (физик, химик, биолог и т.д.), решая задачу может сделать разумные допущения, линеаризирующие, например, некоторые выражения или уменьшающие их число. Другое важное преимущество метода последовательных приближений состоит в том, прикладник, зная физика задачи, может менять точность расчётов при обработке выражений, входящих в систему. В блоке Given...Find, как было уже отмечено, это не допустимо. В нём можно лишь смягчить эту проблему с другого конца - ввести в выражения балластные (нормирующие ) коэффициенты, уравнивающие их по отношению друг к другу и позволяющие им решаться с одной точностью. А это опять же потеря физики в угоду математики. Но тем не менее все перечисленные ухищрения часто остаются тщетными из - за того, что система просто ... не имеет решения, да и вся задача ориентированна не на поиск корней, а на минимизацию некоторых величин. В этом случае функция Find заменяется на функцию Minerr (MINimal ERRor). С помощью блока Given...Minner можно решать широкий класс оптимизационных задач.

Для решения линейных алгебраических уравнений в пакете MathCAD есть особые инструменты - операторы и функции работы с матрицами и векторами. Элементы матриц и векторов в среде MathCAD должны либо иметь одинаковую размерность, либо быть безразмерными. А это не просто ошибка пакета, а общая методологическая ошибка: элементы матрицы могут быть с разнородными размерностями.

Матрица и вектор пакета MathCAD имеют «родственников» на языке BASIC - двумерный и одномерный массивы. Массив же - это объединение сугубо однотипных величин. Разнотипные переменные объединяются в записи. Что бы примирить физику с математикой, достаточно разрешить в столбцах матрицы помещать величины с разнородными единицами измерений, считая матрицу не только двухмерным массивом простых переменных, но и одномерным массивом векторов. В записи (в векторе) могут, конечно храниться и однотипные переменные - переменные с одной размерностью или вообще лишенные её. Аналог одномерного массива в MathCAD - это матрица с одним столбцом. Но такая «горизонтальная» матрица не выражается через переменную с индексом. Переменная с индексом - это нормальный, «вертикальный», вектор. Если допустить, что матрица - собрание (множество) величин с различной размерностью, то тогда придётся все матричные операторы и функции разделить на группы по отношению к единицам измерений. Так функции min (поиск минимального элемента в массиве ) и max (поиск максимального элемента в массиве ) не могут допустить неодинаковых размерностей в элементах матрицы - аргумента. Оператор же определения детерминанта должен преобразовывать матрицу как массив векторов. Величины в строках здесь должны быть одной размерности.

С точки зрения математика (несмотря на отсутствие размерности, что ведёт за собой смысловую потерю физики задачи) решение в среде MathCAD системы линейных алгебраических уравнений через матрицы более оптимально, чем через блок Given...Find: отпадает необходимость в начальном приближении (у линейной системы не более одного корня - вектора). Кроме того, матричное решение задачи - точнее.

Есть и другие причины по которым приходится отказываться от размерностей. Международная система физических величин ( СИ ) базируется на семи основных единицах (длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила тока - ампер, абсолютная температура - кельвин, сила света - кандела и количество вещества - моль). Но в среде MathCAD их только пять: длина, масса, время, заряд и абсолютная температура.

Да, как это ни печально, но с единицами измерений при работе в среде MathCAD часто приходится расставаться. Вина здесь не только фирмы MathSoft, но и всей теории размерностей. Дело в том, что эта теория какая - то незаконченная. Недаром её избегают освещать в математических справочниках. В физических же справочниках, когда дело доходит до размерностей, теряется всякая логика. Из - за этого многие научные дисциплины стараются избавиться от пут размерностей, вводя безразмерные величины (критерии): число Рейнольдца, например, если вспомнить аэродинамику. Освобождение от размерностей подкреплено целой теорией - теорией подобия. Всё это не могло отразится на развитии пакета MathCAD: там упомянутая пятёрка размерностей (длина, масса, время, заряд и абсолютная температура) неудобоварима в психологическом и даже в парапсихологическом смыслах. Химики никак не могут понять, как концентрацию раствора можно измерять только молями, которых , кстати, в пакете MathCAD нет. Сама по себе размерность - понятие скользкое, опирающееся не только на науку, но и на привычки людей, законы искусства и даже на постулаты религии. Стоит только вспомнить попытки заменить в метеосводках миллиметры ртутного столба на гектопаскали. Парапсихологический, если можно так выразится, аспект проблемы размерностей в среде MathCAD выражен в том, что пятёрка - число некрасивое, а значит, и неправильное. Там должна быть семёрка, но не та, которая заложена в Международную систему, а некая другая.

Семь ¾ число совершенное в науке, в искусстве и в религии: стоит только перечислить цвета радуги, ноты музыкальной гаммы, дни недели, чудеса света, наиболее промышленно развитые страны мира, античных мудрецов, смертные грехи... В классическом варианте языка BASIC семь структурных управляющих конструкций алгоритма (цикл с предпроверкой, цикл с постпроверкой, цикл с выходом из середины, альтернатива, функция, процедура и множественное ветвление ) и семь типов переменных (Integer, Long Integer, Single - precision Floating Point, Double - precision Floating Point, Currency, String и Type - тип, заданный пользователем). Да и сама цифровая вычислительная техника базируется не на числе 8 (байт), как принято считать, а на числе 7. Два (бита) в степени восемь (256) - это число символов в ASCxx - таблице. Но ASCxx - таблица ни машиной, ни человеком никогда не воспринимается как единое целое, а всегда разбивается на две половины - верхнюю и нижнюю по 128 знаков в каждой. А это два в степени семь, а не восемь.

Ещё одна базовая размерность лежит на поверхности, но почему - то напрочь отвергается учеными. Это единица измерения стоимости - рубли, доллары, марки и т.д. Из -за этого в среде MathCAD экономические расчёты лишены размерности. Кстати, в язык BASIC размерность валюты введена косвенно через новый тип числовых переменных - Currency.

Великолепная семёрка MathCAD.

Раз мы уж залезли в мистику (в описание магических свойств числа семь), то подошла пора рассказа о великолепной семёрке MathCAD - о семи видах графиков, используемых для визуального отображения различных зависимостей. Типов графиков в MathCAD, конечно, намного больше, но на панели инструментов имеется ровно семь кнопок для создания семи типов графиков. Мистика да и только.

Самый распространенный график: двухмерный декартов график (X-Y Plot), иллюстрирующий связи между двумя или несколькими векторами.