Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 9

Рис 28. Чтобы увеличить угол между векторамн р и Е на йх, нужно совершить против сил, действующих на диполь в электрическом поле, работу дА М На = рЕ з1п а да. Эта работа идат на увеличение потенциальной энергии йГ, которой обладает диполь в электрическом поле АФПГ рЕ яп а с(а. (14.3) Интегрирование выражения (14.Э) дает для энергии диполя в электрическом поле выражение й" = — рЕ соз а + сопя(.

Наконец, полагая сопа1 равной нулю, получаем В' = — рЕ соз а = — рЕ. (14.41 Выбрав таким образом значение сонэ(, мы полагаем энергию диполя равной нулю в том случае, когда диполь устанавливается перпендикулярно к полк1 Наименьшее значение энергии, равное — рЕ, получается при ориентации диполя по направлению полн, наибольшее, 4' 51 равное рЕ,— при р, направленном в сторону, противоположную Е.

В неоднородном поле силы, действующие на заряды диполя, вообще говоря, не одинаковы по величине. При малых размерах диполя силы 1~ и 1х можно приближенно.счнтать коллинеарными (рис. 29). Предположим, что поле изменяется быстрее хч' падающем с направлением л Е в том месте, где расположен диполь. Положительный заряд диполя смещен .относительно отрицательного в направлении х на величину Рас.

29, Ьх = 1 сох а. Поэтому напряженность поля в точках, где ле помещаются заряды, отличается на ЬЕ = — Ьх = дŠ— 1соза. Следовательно, результирующая 1~ + 1з снл, действующих на диполь„будет отлична от нуля. Проекция этой результирующей на ось х, очевидно, равна дЕ дЕ 1=4ЬЕ д — 1соза=р — сова. (14.5) дх дх Таким образом, в неоднородном поле иа диполь кроме вращательного момента (14.2) действует сила (14.5). Под действием этой силы диполь будет либовтягиваться в область более сильного поля (угол а острый), либо выталкиваться из нее (угол и тупой).

Отметим, что выражение для силы 1 можно получить из формулы (14.4) для энергии диполя, использовав известное из механики соотношение между потенциальной энергией и силой. Действительно, продифференцировав (14.4) по х в предположении, что а (т. е. ориентация диполя) остается постоянной, и изменив у результата знак на обратный, мы придем к формуле (!4.5).

й 15. Поляризация диэлектриков В отсутствие внешнего электрического поля дипольные моменты молекул диэлектрика или равны нулю (не- полярные молекулы), нли распределены по направлениям в пространстве хаотическим образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю. Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется. Это означает, что результирующий электрическин момент диэлектрика становится отличным от нуля.

В качестве величины, характеризующей степень поляризации диэлектрика, естественно взять электрический момент единицы объема. Если поле или диэлектрик (или оба они) неоднородны, степень поляризации в разных точках диэлектрика будет различна. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, нужно выделить заключающий в себе эту точку физически бесконечно малый объем' ) Ь1', найти сумму ~2.',р, моментов, ьг заключенных в этом объеме молекул, и взять отношение (15.!) Величина Р, определяемая формулой (15.1), называется вектором поляризации диэлектрик а. Дипольный момент р; имеет рззме)пность ЦЬ.

Следовательно, размерность Р равна (4!.-', т. е. совпадает с размерностью еоЕ (см. формулу (5.3)). У диэлектриков любого типа (кроме сегнетоэлектриков, о которых будет речь в 9 19) вектор поляризации связан с напря>кенностью поля в той же точке простым соотношением Р = хеоЕ, (15.2) где х — не зависящая от Е величина, назоявнел>ая диэлектрической во спрн им ч и востью диэлектрика о). Размерность Р и еоЕ, как мы видели, одинакова. Следовательно, х — безразмерная величина.

') Фнзизески бескоиечяо малым называют такой объем, который содержит достаточное для усреднения количество молекул и вместе с тем настолько мал, что л~акроскопнческие величииы— плотность, температура, напряжеююсть поля Е я т. д.' — можно считать в его пределах постояпиыми (см. также текст, следующий ва формулой (39.2), т. 1, й 99). э) В аняэотропных диэлектриках направления Р н Е, вообще гояори, не совпадают.

Мы ограничимся рассмотрением лишь изотропиых диэлектриков. Для диэлектриков, построенных из неполярных молекул, формула (!5,2) вытекает нз следующих простых соображений. В пределы объема Ь'и' попадает количество молекул, равное пЬ)г, где и†число молекул в единице объема Каждый из моментов р; определяется в этом случае формузшй ()ЗА). Таким образом, Х Рг = и ц)' раоЕ. М Разделив это выражение иа Ь'и', получим вектор поляризации Р = нрееЕ. Наконец, введя обозначение х пр'), (!5зЗ) приходим к формуле ()5.2). В случае диэлектриков, построенных из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля противится тепловое движение молекул, стремящееся разбросать их дипольные моменты по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация днпольных моментов молекул в направлении поля.

Соответствующий статистический расчет показывает в согласии с опытом, что прн неизменной температуре вектор поляризации пропорционален напряженности поля, т. е. приводит к формуле (!5.2). При постоянной напряженности поля вектор поляризации диэлектриков, построенных из полярных молекул, уменьшается с повышением температуры. Диэлектрическая восприимчивость таких диэлектриков обратно пропорциональна абсолютной температуре, В ионных кристаллах, как известно, отдельные молекулы утрачивают свою обособленность. Весь кристалл представляет собой как бы одну гигантскую молекулу.

Решетку ионного кристалла можно рассматривать как две вставленные друг в друга решетки, одна из которых образована положительными, а другая отрицательными ионами. При действии на ионы кристалла внешнего поля ') Соотношение (15.3) является приблнженнын. Более точное выражение, связывающее величины н я Р, будет дано в козще э 18.

обе решетки сдвигаются друг относительно друга, что приводит к поляризации диэлектрика. Вектор поляризации и в этом' случае связан с напряженностью поля соотношением (15.2). Рассмотрим в однородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую площадку о, перпендикулярную к направлейию поля Е, а следовательно и к направлению вектора поляризации Р (рис.

30). Пусть в единице объема диэлектрика имеется л одинаковых частиц с зарядом ;+е и л одинаковых частиц с заря-,Д дом — е. Если поле в пределах ди- с~ ~гХ электрика однородно, то при включении Е все положительные заряды сместятся в направлении Е (совпадающем с направлением Р, см. рис. 30) на одинаковое расстояние 1ь а Е все отрицательные заряды сме- Р стятся в противоположном направлении на одинаковое расстояние 1ь Прн этом через площадку 3 пройдет некоторое количество положительных зарядов в направлении слева направо и некоторое количе- рак зо, ство отрицательных зарядов в направлении справа налево.

Раз положительные носители смещаются на расстояние 1ь то площадку 3 пересекут все заряды +е, которые до включения поля отстояли ог иее не более чем на 1ь т. е. все +е, заключенные в цилиндрическом объеме с основанием о и высотой 1, (на рис. 30 этот объем заштрихован горизонтальнои штриховкой). Число этих зарядов равно пЯь а переноси. мый ими в направлении Р заряд равен +епЯ,. Аналогично в направлении, противоположном Р, пересекут площадку все отрицательные заряды, заключенные в объеме Ях (на рис.

30 этот объем заштрнхован наклонной 'штриховкой). В результате через площадку пройдет справа налево отрицательный заряд, равный — епЯк Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении. Поэтому можно считать, что при включении поля через плошадку Б переносится в направлении вектора Р положительный заряд д' = епБ1, + епБ1, = е (1, + 1,) пБ. По 1~ + 1г есть расстояние 1, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные заряды в диэлектрике. В результате такого смешения каждая пара зарядов +е и — е приобретает дипольный момент р = е1 е(1~ + Ц. Таких пар в единице объема и. Следовательно, проиавегх-л-,ч1 денис е(1 + 1т)п = е(п = рп дает модуль вектора поляризации Р.

Таким образом, заряд, проходящий при включении паля через площадку Б в направлении вектора Р, равен д' = РБ. (15.4) Рассмотрим внутри диэлектрика две одинаковые по величиневоображаемые площадки Б, и Бв ПлоРие. 3!. щадки предполагаем перпендику- лярными к Е и отстоящими друг от друга на Ьх (рис. 3!). До включения поля суммарный заряд, заключенный в цилиндрическом объеме с основанием Б и высотой Лх, равен нулю (диэлектрнк всюду нейтрален). При включении поля через площадку Б~ входит внутрь цилиндра положительный заряд = Р~Б [см.

(15.4), Р~ — модуль вектора Р в сечении Б~). Одновременно через Бт выходит из цилиндра поло. жнтельный заряд д'=РтБ (Ри — модуль вектора Р в сечении Бт). В результате в рассматриваемом объеме оказывается избыточный связанный положительный заряд 4'„,. = р', — р, '= (Р— Ри) Б. (15.5) Если диэлектрик поляризован однородно (Р = сопя(), то Р, = Рт и выражение (15.5) обращается в нуль. Следовательно, в однородно поляризованном диэлектрике набыточные объемные связанные заряды не возникают. Однако, если диэлектрик по какой-либо причине поляризуется' неоднородно, равенство Р~ и Рт уже не выполняется. Причинами неоднородной поляризации могут быть как неоднородности самого диэлектрика, так и неоднородности поля Е (правда, не всякие, а лишь такие, какие вызваны присутствием свободных зарядов в месте неоднородности).

Предположим, что степень поляризации диэлектрика изменяется только в направлении оси х, совпадающей с направлением Е (рис. 3!). Тогда Рт — Р1 представляет собой приращение ЛР, которое получает модуль вектора Р при смещении вдоль оси х на Лх. Поскольку ЛР чь О, в цилиндрическом объеме величиной 5Лх возникает избыточный заряд, равный согласно ((5.5) г)изб (Рт 1) Разделив этот заряд на объем цилиндра 5Лх, получим объемную плотность связанных зарядов в сечении с координатой х (Лх полагаем малым): аР ь' р = Сократив на 5 и устремив Лх к нулю, придем к формуле р' = — — ') дР (!5.6) дк ') В обшсм случае, когда Р не совпадает по направлению с осью х и зависит не только от х, но и от координат у н х, для р' получается формула ( дРк дри дрк 1 р'= — ! — + — + — ! — гич Р ~д ду д/ (15.7) (смысл символа дьт Р разъясняется в $107).