Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 7

Впоследствии будет показана, что поле движущихся зарядов (т. е. поле, изменяющееся со иременем) не является где Е~ — проекция вектора В на направление элементарного перемещения Н! (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому контуру). Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину д', придем к следующему соотношению: $ 10. Потенциал Мы знаем из механики, что тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Следовательно, работа (9.1) может быть представлена как разность значений потенциальной энергии, которыми обладал заряд д' в точках 1 и 2 поля заряда йт 1 44 1' Ф~ ФУ Отсюда для потенциальной энергии заряда о' и поле заряда д получаем В' — — +сопз1. 1 еч и 4ято г Значение сопз1 в выражении для потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (г = оо) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что йг =— 1 чч' и 4кео г (10.1) Воспользуемся зарядом д' в качестве пробного заряда для исследования поля.

Согласно (1ОЛ) потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины о', но и от величин д н г, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть использована для описания поля, подобно тому, как была использована для этой цели сила, дей-' ствующая на пробный заряд. Разные пробные заряды о'„, о" и т. д. будут обладать в одной н той же точке поля различной энергией потенциальным; следовательно, условие (02) для него ие выполняется. Выражение вида ~ А, гУ называется циркуляцией вектора А по данному контуру. Таким образом„ характерным для электростатичесного поля является то, что циркуляция вектора напряженности по любому: замкнутому контуру равна нулю. Ф~р, Ф'р» н т.

д. Однако, как видно из (10.1), отношение Мур/гу,р будет для всех зарядов одно и то же. Величина Игр гр= чяр (10.2) называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля Е, для описания электрических полей. Как следует из (10.2), потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Подставляя в (10.2) значение потенциальной энергии (10.1), получаем для потенциала поля точечного заряда следующее выражение: д Ч 4яеа г ' (10.3) Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов оь от, ...

Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим гь гм ... Работа, совершаемая силами этого поля иад зарядом д', будет 'равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности: А1т=ХАг. Но согласно (9.1) каждая из работ А» равна В гауссовой системе потенциал поля точечного заряда в пустоте определяется формулой е Ф г где рп — расстояние от заряда ~уг до начального положения заряда д', гм — расстояние от гуг до конечного положения заряда д'. Следовательно, ! ч лго' 1 егд' Ага — — — Уа — ' Чяаа ггг 4яеа го Сопоставляя это выражение с соотношением Ага И р1 Игра получаем для потенциальной энергии заряда а' в поле системы зарядов выражение Р ля го ьт откуда ч1 чс 4Р= 7г г й~ ц (10А) Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

В то время как напряженности поля складываются прн наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебранчески. Но этой причине вычисление потенциалов оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряженностей электрического поля. Из соотношения (10.2) вытекает, что заряд д, находящийся в точке поля с потенциалом ~р, обладает потенциальной энергией (1О.б) Следовательно, работа сил поля над зарядом а может быть выражена через разность потенциалов: Ам = )т 1 — 1р„г = а (%1 — Чт). (10.0) Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд а из точки с потенциалом а удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа снл поля будет равна А„ур.

(10.7) Отсюда следует, что потенциал численнд равен работе, которцю совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необходимо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

Соотношение (10.7) можно использовать для установления единиц измерения потенциала. За единицу 1дж=1 к ° 1 в, отсюда 1 в=в 1 дж 1 к (10.8) За абсолютную злектрастатическую единицу потеициала (СГСЭ-ед. потенциала) прииимается потенциал в такой тачке, для перемещения в которую ю бескоиечиости заряда, рависцо + 1 едииипе СГСЭ, иеабкадимо совершить рабату в 1 грг.

Выражая в соотношении (10.8) ! дж и 1 к через едиияцы СГСЭ, найдем ссотиошеиие между вольтам и СГСЭ-ед. патеициала: 1 дж 10т грг 1 1 в-— !к З Ю СГСЭ ЗОО - — СГСЭ-ед. потеициала. таким образом, одна СГСЭ-едииица потевциала равна 300 а. В физике часто пользуются единицей работы н энергии, называемой электронвольтом (эв). Под электрон- вольтом подразумевается работа, совершаемая спламн поля над зарядом, равным заряду электрона (т.

е. над элементарным зарядом е) при прохождении им разности потенциалов в 1 в: 1 эв = 1,60 ° 10 " к ° 1 в = 1,60 ° 1О юдж 1,60 ° 10 'з эре. Используются также кратные электронвольту единицы: 1 кэв (килоэлектронвольт) = 10з эв, 1 Мэв (мегаэлектронвольт) 1Оз эв, 1 Гэв (гигаэлектронвольт) = 10з эв.

Отметим, что величина кТ, характеризующая среднюю энергию теплового движения молекул, равна при комнатной температуре 'кТ= 2,5.10 зэв= — эв. 1,33 ° 1О ° 300 -з 1 1,ЬШ-!з . — а потенциала следует, очевидно, принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ-единицу потенциала, называемую вольтом (сокращенное обозначение — в), принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую нз бесконе'шости заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль: 5 11.

Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом В предыдущих параграфах было выяснено, что элекч трнческое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины гр. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что Е пропорционально силе, действующей на заряд, а гр — потенциальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой. Действительно, работа снл поля над зарядом д' на отрезке пути Ж может быть представлена, с одной стороны, как дЕ,Ж, с другой же стороны — как убыль потенциальвой энергии заряда, т. е. как — г)(дф) = — д †. Приравнивая эти выражеаф аг ния, получим г)ЕФ= ) аг г)1 откуда находим, что аф Е, = — — ~ ') аг ° (11.1) где через 1 обозначено произвольно выбранное направление в пространстве, В частности, Š— — Š— — Š— — (11.2) дф аф аф х ахФ в арэ 2 ае ° откуда В-)Ел+)Ев+йЕэ=-(1 ал+) а +й ах).

дф аф аф1 Выражение, стоящее в скобках, называется гр ад кентом скал яр а <р (обозначается нгаг) ~р)х), Используя обозначение градиента, можно паписаты Е = — агаг) ~р. (11,3) ') Умножив обе части этого равенства иа Ч, мм приходим я со отиошеииш англ 6 д! 1см. формулу 12В.В), т. Ц. э) Для обозначения градиевта примеияется также символ 7 (ваала): яр мв Втаб ~р.

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала; взятому с обратным знаком. Градиент некоторой скалярной функции Ф(х„у, а) есть векторная величина, обладающая следующими свойствами. Направление градиента совпадает с направлением п, в котором прн смещении из данной точии функция Ф, возрастая по величине, изменяется с наи.

большей скоростью. Величина производной — по этому дф да направлению дает модуль градиента. Частные производные — — — представляют собой проекции гра дФ дФ дФ дк У Ду 3 дк диента на координатные оси х, у, а. Аналогично производная †, взятая по произвольному направлению 1, дФ д! ' будет проекцией градиента на это направление. Проекция градиента на перпендикулярное к нему направление т, очевидно, равна нулю: — = О. дФ Поясним соотношение между на- 1 пряженностью поля н потенциалом на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается функцией (см.

(1О.ЗЦ Ф=4пео,- 1 д Рассмотрим точиу поля 1, положение которой определяется радиусом- вектором г (рис. 21 выполнен в предположении, что д положителен). Очевидно, что при смещении из этой точки в разных направлениях на одинаковый по величине малый отрезок Ж наибольшее положительное приращение Ф получается для направления от точки ! к заряду д, если заряд положителен, и для направления от заряда д к точке 1, если заряд отрицателен. Следовательно, направление градиента п может быть представлено в виде (11.4) где знак « — ъ соответствует случаю положительного заряда, знак «+» — отрицательного.

Проекция птабФ на направление г равна (нгас(ф) = — = —— де 1 д дг 4яее (11.5) Знак « — » в этом выражении указывает на то, что нгабф в случае положительного заряда имеет направление, противоположное г, а в случае отрицательного заряда— совпадающее с г. Модуль втаб ф, очевидно, равен модулю выражения (!!.5).