Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 6

Рис. 15. все больше отличаться от поля бесконечной заряженной плоскости. Характер поля на больших расстояниях легко представить, если учесть, что на расстояниях, значи-. тельно превышающих размеры пластинки, создаваемое ею поле можно рассматривать как поле точечного заряда. 2. Поле двух разиоимеино заряженных плоскостей, Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разиоименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью а, можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

Легко видеть (рис. 16), что в области '1 В случае гшастиийи под о в формуле (8.5) следует пони. мать заряд, сосредоточенный на 1 мз пластинки по всей ее толщине. У металлических тел заряд распределяется по внешней поверхности. Следовательно. плотности и в формуле (8.51 соответствует удвоенная величина плотности заряда на ограничивающих металлическую пластинку поверхностях. между плоскостямн складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна Е= —.

(8.6) В гауссовой системе ага формула имеет вид (8.7) Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю. Таким, образом, поле оказывается сосредоточенным между плоскостями.

Напряженность поля во всех точках и Е, ба Е, Е, Рис. 16. Рис. !7. этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее такими свойствами, называется однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых. Полученный нами результат приближенно справедлив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности и величины напряженности от о/ее наблюдаются только вблизи краев пластин (рис. 17). 3.

Поле бесконечного заряженного цилиндра. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса Я, заряженной с постоянной поверхностной плотностью о. Из соображений симметрия следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой„ перпендикулярной к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояния г от оси цилиндра. Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую Ряс, 18, поверхность радиуса г н высоты Ь (рис.

18). Для оснований этот цилиндра Е„О, для боковой поверхности Е„= Е(г) (заряд считаем положительным). Следовательно, поток линий Е через эту замкнутую поверхность будет равен Е(г) *2пгй. Если г > Л, внутрь поверхности попадает заряд д = ЗЛ, где Л вЂ” линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем Е (г) ° 2пгй = —, ха Щ откуда ЕЯ= 2 (гь в. 1 Х (8.8) Если г ( Я, рассматриваемая замкнутая поверхностЬ не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(г) ()„ Таким образом, внутри заряженной цилиндрт|ческой поверхности бесконечной длины поле отсутствует.

Напряженность поля вне поверхности определяется лишь 3 и. в, савельев, т, и ,линейной плотностью заряда А') и расстоянием г от оси цилиндра. Поле отрицательно заряженного цилин дра отличается от поля цилиндра, заряженного положительно, только направлением вектора Е. Из формулы (8.8) следует, что, уменьшая радиус цилиндра гт (при неизменной линейной плотности заряда Х), вблизи поверхности цилиндра можно получить очень сильное поле, т. е.поу~ ле с очень большой напряженностью Е. Учтя, что Х = 2гггго, для напряженности в непосред+ , ственной близости от по- верхности (г = Я) в соот+ + ветствии с (8.8) получаем Е (гг) = — .

(8.9) ео С помощью принципа суперпозиции легко найти Рис. 19. поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей,, заряженных с одинаковой по величине, иоотличающейся знаком линейной плотностью Х (рис. 19). Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле отсутствует. В зав воре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой (8.8). Это справедлцво и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями значительно. меньше их длины (цнлиндрический конденсатор). Заметные отступления от поля поверхностей бесконечной длины будут наблюдаться только вблизи краев цилиндров.

4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса тг, за. ряженной с постоянной поверхностной плотностью о, будет, очевидно, отличаться центральной симметрией. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния г от центра сферы. Вообразим сферическую поверхность радиуса г. Для ') Предполагается„что аарнд распределен равномерно не только вдоль оси цилиндра, ио и по его поверхности (о = сопвг]. всех точек этой поверхности Е *= Е(г). Если г>1с.

внутрь поверхности попадает весь заряд д, создающий рассматриваемое поле. Следовательнр, Е(г) ° 4ягт= ~, ва откуда Е(г)= — + (г) Е). ) (8.10) В гауссовой системе в этой формуле нет множителя —. ! 4меа ' Сферическая поверхность радиуса г, меньшего, чем К, не будет содержать зарядов, вследствие чего для и.< Е получается Е(г) О. Таким образом, внутри сферической поверхности, заряэкенной с постоянной поверхностной плотностью о, поле отсутствует.

Вне этбй поверхности поле имеет такой же внд,как поле точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы. Заменив в (8.10) д через 4атЯто и положив г= 1с, получим для напряженности поля вблизи заряженной сферической поверхности Е(1с) =— (8.11) са (ср. с формулой (8.9)). Используя принцип суперпозиции, легко показать, что поле двух концентрических сферических поверхностей (сферический конденсатор), .несущих одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды +ау и †, сосредоточено в зазоре между поверхностями, причем .

величина напряженности поля в этом зазоре определяется формулой (8.10). 5. Поле объемно заряженной сферы. Рассмотрим сферу радиуса ас, заряженную с постоянной объемной плотностью р. Поле такой сферы, очевидно, обладает центральной симметрией. Легко видеть, что для поля вне сферы получается тот же результат 1в том числе и формула (8.10)), что н в случае поверхностно заряженной сферы.

Однако для точек внутри сферы результат будет иным. В самом деле, сферическая поверхность радиуса г (г(Е) заключает в себе заряд, равный р ° вЂ” пг'. Следовательно, теорема Гаусса для такой ча зй поверхности запишется следующим образом: 1 4 Е (г) ° 4ягт = — р —. пгэ, ес 3 откуда, заменяя р через 4, получаем ч ядз 3 4ж тст и ( - ®)' (8.!2) 4яео Лт Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием г от центра сферы. Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного Заряда.

9 9. Работа сил электростатического поля Легко сообразить, что сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил, как известно из механики (см. т. 1, э 26), потенциально. Убедимся в потенциальности снл электроста.

тического поля (т. е. поля, создаваемого неподвижными зарядами) непосредственно. Для Ь этого вычислим работу, кото- 1 а' рая совершается силами поля неподвижного точечного заряда д над перемещающимся в этом поле точечным зарядом с)'. Работа на элементарном пути с(1 равна (рнс. 20) с(А =101 сова= 1 чч' = — — Ж сова — — '- — Иг 1 дд' 4яво 4лге г' (мы учли, что Нсоза = с(г). Отсюда для работы на пути 1 — 2 получается выражение Г ',"). (.

) г 1 В гауссовой системе в этой формуле нет множите.эв —. 4яес ' Полученный нами результат свидетельствует о том, что работа действительно не зависит от пути, по которому перемещался в электрическом поле заряд д', а зависит лишь от начального и конечного положений этого заряда (от г1 и гз). Следовательно, силы, действующие на заряд о' в поле неподвижного заряда д, являются потенциальными. Этот вывод легко распространяется на поле любой системы неподвижных зарядов.

В самом деле, сила $, действующая на точечный заряд д' в, таком поле, может по принципу гуперпознции быть представлена в виде где $; — сила, обусловленная ~-и зарядом создающей поле системы. Работа в этом случае равна, как изве- стно, алгебраической сумме работ, совершаемых отдель- нымн силами: Каждое из слагаемых в правой части этого выражения не зависит от пути. Следовательно, не зависит ат пути и работа А. Из механики известно, что работа потенциальных снл на замкнутом пути равна нулю. Работа, совершаемая силами полн над зарядом д' при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как ~ц'Е, сУ, ~Е,И=О, (9,2) которое должно выполняться для любого замкнутого контура. Следует иметь в виду, что формула (9.2) справедлива только для электростатического поля.