Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 5

Тогда по картине линий йапряженности можно судить о направлении и величине вентора Е в разных точках пространства (рис. 8). Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 9). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. В самом деле, полное число Й линий, пересекающих сферическую по- верхность произвольного радиуса Е г, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4пгх.

Густота линий по усло- 1 д вию численно равна Е= —,, — „, ° Следовательно, Й численно равно — —, 4пгт = — ~, (7.!) 1 д 4яео г ео ' т. е. число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же, Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд положителен), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен).

Это свойство Рис. 9. линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность. Ниже, на рис. 26, показана картина линий Е поля диполя. 24 (7.2) где Š— составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке. Отсюда для количества линий Е, пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение: Ф численно равно ( Е„ йЯ. з (7.3) Если имеется поле некоторого вектора А, то выраже- ние (7.4) где А„— составляющая вектора А по направлению нормали к Ж, называется потоком вектора А через поверхность Я.

В зависимости от природы вектора А выражение (7.4) имеет различный физический смысл. Так, например„ поток вектора плотности потока знергии равен, как известно, потоку знергии через соответствующую поверхность (см. т. 1, $82). Предоставляем читателю самому убедиться в том, что поток вектора скорости дает объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность 5. Из формулы (7.8) следует, что поток вектора Е (7.5) численно равен количеству линий Е, пронизывающих по- верхность 8.

Поскольку густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку дЯ, перпендикулярную к вектору .Е, будет численно равно Е г13. Если площадка ФЯ ориентирована тзк, что нормаль к ней образует с вектором Е угол а, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно (ср. с формулой (82.12), т. 1): Ег(Бсоза= Е„г(Бг Как мы увидим в дальнейшем, понятие потока вектора напряженности поля играет большую роль в учении об электричестве и магнетизме.

Заметим, что поток (7.5) есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается пои верхность 5 при вычислении Ф. Изменение направления нормали на Ю противоположное изменяет знак у Е„ а следовательно и знак у потока Ф. В случае замкнутых поверхно- стей принято вычислять поток, вый ходящий из охватываемой поверхностью области наружу. Соответственно под нормалью к с/5 в дальнейшем будет всегда подразуме- в ваться обращенная наружу, т.

е. Рис. 10. внешняя, нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор Е направлен наружу (т. е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью), Ен и соответственно т(Ф будут .положительны; в тех же местах, где вектор Е направлен внутрь (т. е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью), Е и НФ будут отрицательны (рис. 1О).

$8. Теорема Гаусса В предыдущем параграфе было показано [см. формулу (7.1Ц, что окружающую точечный заряд д сферическую поверхность любого радиуса г пересекает з//ее линий Е'). Отсюда вытекает, что из.точечного заряда выходит (либо к нему сходится) ///ео линий (в гауссовой системе это число равно 4пт/). В соответствии с формулой (7.3) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количеству линий Е, пересекающих эту поверхность.

Следовательно, поток вектора Е через охватывающую заряд ') Разумеется, количество линий Е лишь численно равно Ч/ез. Количество линий — безразмерная величина, выражение же д/ес имеет размерность. Однако мы для нраткостя будем условно говорить, что число линий равно С/Оз. сферическую поверхность равен фее').

Знак потока совпадает со знаком заряда Покажем, что и для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд д, поток вектора Е также будет равен о4ео. Для поверхности, не имеющей «морщин» (рис. 11,о), это утверждение является очевидным. Действительно, такая поверхность, как и поверхность сферы, пересекается каждой линией Е только Рис. Ы. один раз, Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е, д(ео. При вычислении потока через поверхность с «морщинами» (см. рис.

11,б, на котором показана только одна из дано линий Е) нужно учесть, что число пересечений данной линии Е с поверхностью может бы)ь в рассматриваемом случае только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверхность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете '1 В данном случае идет речь не только о численном равенстве. Размерность потока.

вектора и равна размерности О(аь (8.! ) (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей Ел = Ею+ Еит+ ° * ° = Х Еы (8.2) Подставив (8.2) в выражение для потока, получим $ Е„дБ = ~ ~~~ ~ Еа) ИБ ~~~~ ~ Еы йЕ, где Е„т — нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого (-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше, ~Е дЕ= —",.

Следовательно, ъ'~ Е„аБ = — лт. аь , .ьг (8.3) Доказанное нами утверждение носит название теоремы Гаусса. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на еь. В частности, если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю.

В этом случае каждая линия наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь). Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд д, поток вектора Е сквозь эту поверхность оказывается равным феь. Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности эа. ключено несколько точечных зарядов произвольных знаков: дь дэ и т. д. Поток вектора Е по определению ра- вен напряженности поля (создаваемого зарядами, расположенными вне поверхности) пересекает поверхность четное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и входя внутрь (рис. 12). В итоге вклад, вносимый в поток каждой из линий, будет равен пулю. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р '), теорема Гаусса должна быть записана следующим образом: ф Еа дя = — ~ р с()г, (8-4) 3 Рис. !2.

где интеграл справа берется по объему У, охватываемому поверхностью о. В гауссовой системе в формулах (8.3) и (8.4) вместо !/аз стоит множитель 4п. Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса на нескольких полезных для дальнейшего примерах. ') Объемная плотность заряда определяется по аналогии с обычной плотностью следующим образом: р Бщ ьд Ьд ьр ЬУ гле Ьд — зар|щ, заключенный внутри малого объема ЬУ.

Кроме объемной плотности заряда иам понадобятся в дальнейщем поверхиостная плотность и - )пп — , Ьч ьз-ьо Ы гле Ьд — заряд, находящийся иа злементе поверхности ЬЯ, линейная плотность Х !пп — , Ьо и+о и' где Ьд — заряд, находящийся иа отрезке цилиндрического тела, имеющем длину Ь). 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постояннои поверхностной плотностью о; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости. В самом деле, посколь- ку плоскость бесконечна н заря+к жена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля будет одинакова по величине н противоположна по направлению.

Представим себе мысленно цилинл рическую поверхность с образующими, пррпендикулярными,к плоскости,' и основаниями величины ЬЗ, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 13). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е„ в каждой ее точке равна нулю. Для оснований Е„ совпадает с Е. Следовательно, суммарный поток через по. верхность будет равен 2ЕЛЗ. Внутри поверхности заключен заряд и Д5. Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие 2ЕЬЗ= —, а ЬЗ откуда (8.5) Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра.

Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит так, как показано на рнс. 14. Для отрицательно заряженной плоско- сти результат будет таким же, лишь направление вектора Е и линий напряженности изменится иа обратное. Если взять плоскость конечных размеров, например заряженную тонкую пластинку'), то полученный выше результат будет справедливым лишь для точек, расстояние которых от края пластинки значительно превышает расстояние от самой пластинки (на рис. 16 областьзтих точек обведена пунктирной кривой), По мере удаления от плоскости или приближения к ее краям поле будет Рнс. 14.