Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 10

В случае, для котооого мы получили формулу (15.6), Р„= Р, Р, Р, О. так что (15.6) есть не что иное, как (15.7). написан. иая дл» рассмотренного каин частного случая. Полученное нами соотношение оказывается справедливым и для диэлектриков с полярными молекулами. Из выражения ((5.5) для избыточного связанного заряда, заключенного в рассматриваемом объеме, вытекает еще одно важное соотношение. Найдем поток вектора Р через поверхность цилиндра, изображенного на рис. 3!. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор Р касателен к этой поверхности.

Нормальная составляющая Р для площадки 5г равна модулю вектора Р в сечении 2, т. е. Р. Поэтому для потока через Бэ получается значение РзБ (напомним,что площадь площадок Б1 н Б, одинакова и равна Б). Нормальная составляющая Р для площадки Б~ равна — Р, (направления внешней нормали к Б, и вектора Р противоположны), так что соответствующий поток равен — Р|Б. Таким образом, полный поток вектора Р через поверхность цилиндра равен ГРр=РзБ Р Б=(Рх Р1)Б Сопоставив полученное нами выражение с правой частью формулы (155), приходим к соотношению между избыточным связанным зарядом, заключенным внутри цилиндра, и потоком вектора Р через поверхность цилиндра: (15.8) чнвб грр Избыточный ааряд, заключенный в некотором объеме, равен алгебраической сумме находящихся в этом объеме связанных зарядов: д'„„ ~д'. Поэтому (15.8) можно записать в виде Фр= ~ РвЮ = — ~~ ч' ° (15.9) Можно доказать, что формула (15.9) остается справедливой и в самом общем случае, т.

е. для поверхности любой формы, при произвольной зависимости вектора Р от координат х, у, э, а также для диэлектриков как с неполярными, так и с полярными молекулами. Теперь выясним, что происходит на поверхности поляризованного диэлектрика. Предположим вначале, что внешняя плоская грань диэлектрика перпендикулярна к вектору Р (рис. 32,а). При включении поля все отрицательные заряды сместятся относительно положительных зарядов влево (против Р) на одинаковую величину 1 (соответствующую 11 + 1э на рис.

30). В результате в поверхностном слое толщины 1 останутся только положительные заряды, дающие в сумме -д'„, елБ1 (на противоположной грани образуется такой же по величине отрицательный заряд). Разделив д'„, на Б, получим поверхностную плотность связанного заряда: и' = е(п. Но е1л, как мы установили выше, есть модуль вектора поляризации Р, поэтому можно написать, что о'= Р. (15.10) Перейдем к случаю, когда нормаль и к вяешней плоской грани диэлектрика образует с вектором Р произвольный угол а (рис. 32, б). В этом случае свободен от отрицательных зарядов объем косого цилиндра, равный г —— 1 а) Рис. 32. Ясов а.

Содержащийся в нем избыточный заряд равен д'„а епЯсоза. Разделив этот заряд на 3 и учтя, что е!а = Р, получим о' = Р соз а = Рл ю (15.11) где Є— проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. При а = О проекция Р„ равна Р, и мы приходим к формуле (!5.10). Формула (15.1Ц дает не только величину, но и знак поверхностного связанного заряда. В тех точках поверхности, где угол между внешней нормалью и и вектором Р острый, Р„> О н о' положительна.. В тех точках, где и и Р образуют тупой угол, Р„< 0 и о' отрицательна.

Выразив согласно (15.2) Р через и и Е, приходим к формуле (15.12) где ń— нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика. В соответствии с (15.12) в тех местах, где линии напряженности выходят из диэлектрика (Е > О), на поверхности выступают положительные связанные заряды, там же, где линии на.

пряженности входят в диэлектрик (Е„< О), появляются отрицательные поверхностные заряды. Формулы (15.11) и (15.12) справедливы и в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле. Под Р„и Ри в этом случае нужно понимать нормальную составляющую соответствующего вектора, взятую в непосредственной близости к тому элементуповерхности, для которого определяется о'. Формула (15.11) имеет такой же вид и в гауссовой системе.

Формула же (15.2) имеет в этой системе вид Р=ин. (15Л3) соответствеиио формула (15.12) эаиисывается следующим образом: о'= хса. (15. И) 2 16. Описание поля в диэлектриках Под напряженностью поля в диэлектрике понимают значение Е, получающееся усреднением истинного поля по физически бесконечно малому объему, Истинное (микроскопическое) поле в диэлектрике сильно меняется в пределах межмолекулярных расстояний. Однако при рассмотрении действия поля на макроскопические тела эти изменйния сказываться не будут и действие поля на тело определяется усредненным (макроскопическим) значением Е.

Макроскопическое поле Е получается в результате наложения двух полей: поля Ео, создаваемого свободными зарядами, т. е. такими зарядами, которые могут передаваться от одного тела к другому при их касании, и поля Е' связанных зарядов. В силу принципа суперпозиции полей Е= Е.а+ Е ° Поляризация диэлектрика обусловлена действием суммарного поля (16.1). Следовательно, именно это Е нужно подставлять' в формулы (15.2) и (15.12). Связанные заряды отличаются от свободных лишь тем, что не могут покинуть пределы молекулы (или атома), в состав которой они входят. В остальном же их свойства таковы, как и у всех проиих зарядов. В ча.

стности, на связанных зарядах начинаются либо заканчиваются д'/еа линий вектора Е'. Поэтому теорему Гаусса для определяемого выражением (16.1) вектора Е нужно записывать следующим образом: Ф . = ~ Е„05 = — (~ д +,~„ц'), (16.2) т. е. при вычислении потока вектора Е через замкнутую поверхность учитывать алгебраическую сумму не только свободных, но также и связанных зарядов, заключенных внутри поверхности.

Поэтому формула (!6.2) оказывается малопригодной для нахождения вектора Е в диэлектрике — она выражает свойства неизвестной величины Е через связанные заряды д', которые в свою очередь определяются неизвестной Е (см. формулу (15.12)). К счастью, затруднение, обусловленное тем, что Е зависит также и от связанйых зарядов, можно обойти, введя в рассмотрение вспомогательную величину, связанную простым соотношением с вектором Е и определяемую лишь распределением в пространстве свободных зарядов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, сопоставим формулу (16.2) с выражением (15.9).

С точностью до знака и множителя 1/еа правая часть выражения (!5.9) совпадает со второй из сумм в формуле (16.2). Это дает возможность исключить из соотношений заряды д', заменив их потоком вектора Р, Легко проверить, что, объединив вместе (15.9) и (!6.2), можно получить следующую формулу: Выражение, стоящее в скобках под знаком интеграла, и есть та вспомогательная величина, о которой шла речь выше. Ее обозначают буквой Р и называют электрическим смещением (или электрической иидукцией).

Итак, электрическим смещением (электрической индукпией) называется физическая величина, определяемая соотношением (!6.4) !У = аэЕ + Р. С использованием этой величины формула (16.3) может быть записана в виде (!6.5) Если свободные заряды распределены внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, формула (16.5) видоизменяется следующим образом: Фо= 3'з)лйо= ~ Рй~ ° з т (16,6) Формулы (16.5) и (16.6) выражают т е о р е м у 'Гаусса для вектора электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

В вакууме Р = О, так что определяемая выражением '(16.4) величина 1) превращается в еоЕ и формулы (16.5) и (16.6) переходят в формулы (8.3) и (8.4). Единицей потока вектора электрического смещения является кулон .(к). Согласно (16.5) заряд в 1 к создает через охватывающую его поверхность поток смещения в)к, Подставив в формулу [16А) выражение (15.2) для Р, получим Э=езЕ+хезЕ=во(1+х)Е. (16.7) Безразмерную величину в=1+х (16.8) называют относительной диэлектрической проницаемостью или просто диэлектрическоми и р он ицаемостью среды'). Следовательно, соотношение (16.7) можно записать в виде 1) = вззЕ'9. ') Иногда для упрощения формул вводят так называемую абсолютную дизлектрическую проиипаемость в„в,в.

Однако зта величппа физического смысла ие имеет, и мы ею полззоватьгя ие будем. з) В анизотропных дизлектриках направления 0 и В, вообще говоря, не совпадают (см, сноску на стр. бз), Это и есть то простое соотношение между векторами Е и О, о котором речь была выше. Согласно формулам (6.3) и (16.9) электрическое смещение поля точечного ааряда в вакууме равно 1 д г 0= — — —. 4п гэ (16.10) Подстановка в него значения (16.13) для Р дает Р Ц+4пх) Е.

(16.12) (16«3) Величину а 1+ 4пх называют диэлектрической проинпаемостью. Введя эту величину в формулу (16Л2) „получим Р вЕ. (16.14) В гауссовой системе электрическая нццукция в вакууме совпадает с иапряжеиностэю поля Е. Следовательно, электрическая индукция поля точечного ааряда в вакууме определяется форму. лой 5.4). огласно формуле (1ИО) электрическое смещение. создаваемое зарядоы в ! к на расстоянии 1 ы.

составляет 1 д 1 1 Р = — — — к/мз. 4п гз 4п ° 1з 4п В гауссовой системе электрическая индукции в этом случае равна Р— — 3- 10з СГСЭ-единиц. д 3ИР гз 104 Таким образом, 1 к/мэ соответствует 4п ° 3 ° 10' СГСЭ-ед. электрической иидукпнк В гауссовой системе выражение теоремы Гаусса имеет впд ~Ра~Б 4гт )4ф (16.15) 1Ри«Э-фг ~ ра'. (16.16) ') Термин «электрическое смещеииеэ пряменительио к величине (16.11) не употреблжтся. Единицей электрического смен(ення служит кулон на квадратный метр (к/лгт). Электрическую индукцию ') в гауссовой системе определают соотношением Р= Е+4пр. (1С11) Чтобы выяснить физический смысл величин 0 и в, рассмотрим несколько примеров полей в диэлектриках. 1. Поле внутри плоской пластины. Рассмотрим поле, создаваемое в вакууме двумя бесконечными разно- именно заряженными плоскостями.

Обозначим напряженность поля Еа, а электрическое смещение 7!о —— веЕе. Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как пока+о -б' +д" -д вано на рис. ЗЗ. Под деиствием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности о'. Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого согласно формуле (8.6) равна Е' = а'/ео. Вне диэлектрика в данном случае Е' = О. Напряженность поля Еа равна а/ео.