Учебник_Бочаров_Печинкин (Бочаров Печинкин)

УДК 519.2(078.5) ББК 22.! 71+22.172 Б86 Бочаров П. П., Печинкин А В Теория вероятностей. Математическая статистика. — 2-е изд — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 296 с.— !ББПР 5-9221-0633-3. В первой части рассматриваются основные понятия теории вероятностей, при этом используются относительно простые математические конструкции, но, тем не менее, изложение ведется на основе аксиоматического построения, предложенного академиком А. Н. Колмогоровым.

Во второй части излагаются основные понятия математической статистики. Рассматриваются наиболее часто встречающиеся задачи оценивания неизвестных параметров и проверки статистических гипотез и описываются основные методы их решения. Каждое приведенное положение иллюстрируется примерами. Излагаемый материал в целом соответствует государственному образовательному стандарту. Студентам, аспирантам и преподавателям вузов, научным работникам различных специальностей и желающим получить первое представление о теории вероятностей и математической статистике © ФИЗМАТЛИТ, 2005 © П. П.

Бочаров, А. В. Печинкин, 2005 !БВХ 5-9221-0633-3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение . Глава 4. Схема Бернулли. 1.Формула Бернулли. 2. Формула Пуассона 52 52 53 1. Теория вероятностей Г л а в а 1. Вероятностное пространство. 1. Пространство элементарных исходов. 2. События, действия над ними 3. о-алгебра событий 4. Вероятность Глава 2. Классическая и геометрическая вероятности. 1. Классическая вероятность .. 2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей..... 3.

Геометрическая вероятность Глава 3 Условная вероятность. Независимость событий лы полной вероятности и Байеса. 1. Условная вероятность 2.Формула умножения вероятностей . 3. Независимость событий 4.Формула волной вероятности . 5.Формула Байеса 15 15 16 21 25 29 29 30 36 Форму- 40 40 42 44 47 48 Оглавленае Г л а в а 6. Многомерные случайные величины и их свойства..... 89 89 90 92 101 105 108 114 1!4 Свой- 137 140 143 150 152 Список литературы 3. Формулы Муавра-Лапласа 4.

Применение приближенных формул Пуассона и Муавра-Лапласа 5. Теорема Бернулли 6. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло .. 7. Полиномиальная схема Г л а в а 5. Случайные величины и их распределения !. Случайная величина 2 Функция распределения случайной величины 3. Дискретные случайные величины . 4. Непрерывные случайные величины 5.Функции от случайной величины . 1.Многомерная случайная величина 2 Совместная функция распределения ..

3 Дискретные двумерные случайные величины . 4 Непрерывные двумерные случайные величины 5. Условные распределения 6 Независимые случайные величины ...... 7.Функции от многомерных случайных величин Г па в а 7. Числовые характеристики случайных величин. 1.Математическое ожидание случайной величины .........

2.Математическое ожидание функции от случайной величины. ства математического ожидания 3. Дисперсия. Моменты высших порядков............. 4 Ковариация и корреляция случайных величин 5. Условное математическое ожидание. Регрессия. 6. Другие числовые характеристики случайных величин ..... Г л а в а 8. Предельные теоремы теории вероятностей. !. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел 2 Усиленный закон больших чисел Закон повторного логарифма 3.

Характеристическая функция. 4 Центральная предельная теорема 54 57 62 63 67 69 69 71 74 77 84 1!7 120 125 129 133 Оглавление 155 155 !58 160 169 207 наилучшие критерии Список литературы Приложение 292 293 11. Математическая статистика Г л а в а 1 Общие сведения. 1. Задачи математической статистики . 2. Основные понятия математической статистики 3. Простейшие статистические преобразования.. 4. Основные распределения математической статистики.

Глава '2, Оценки неизвестных параметров. 1 Статистические оценки и их свойства ... 2. Достаточные оценки. 3. Метод моментов 4.Метод максимального правдоподобия 5.Метод минимального расстояния 6. Метод номограмм 7 Доверительные интервалы. Глава 3 Проверка статистических гипотез. 1. Статистическая гипотеза. Критерий 2. Простые гипотезы 3. Однопараметрические гипотезы. Равномерно 4.Многопараметрические гипотезы . 5. Критерии согласия 6.

Критерии однородности двух выборок .. Г л а в а 4. Некоторые задачи, связанные с нормальными выборками 1. Общая характеристика задач . 2. Критерии согласия 3. Критерии равенства дисперсий. 4. Выборочная корреляция 5. Общая линейная модель, метод наименьших квадратов .. 6. Регрессионный анализ 7. Дисперсионный анализ. 8. Планирование эксперимента 173 173 183 191 193 !98 199 201 207 212 223 232 238 246 252 252 253 256 260 263 271 278 285 Предисловие Предлагаемое учебное пособие написано на основе курсов по теории вероятностей и математической статистике, читаемых авторами в течение ряда лет студентам самых различных специальностей, начиная от инженерных и кончая прикладной математикой.

Для его изучения достаточно знание математики в объеме стандартного курса высшей математики для втузов. Следует обратить внимание читателя на то, что хотя теория вероятностей и математическая статистика выступают в роли единой математической дисциплины, ее первая часть — теория вероятностей— существенно более проста для понимания, Гораздо сложнее вторая часть — математическая статистика, причем необходимым условием для ее изучения является хорошее знание теории вероятностей. Этим объясняется определенное различие в стиле изложения первой и второй частей.

Материал первой части, ориентированный на детальную проработку основных понятий теории вероятностей, достаточно однороден, в то время как во второй части применен «многоуровневый> подход к изложению: доказательства и более глубокие сведения, которые можно опустить при первом знакомстве с математической статистикой, выделены более мелким шрифтом. В пособие включено большое количество примеров, иллюстрирующих приведенные положения.

В книге принята раздельная нумерация параграфов, примеров, формул, рисунков и таблиц по главам. При ссылке на объект из другой главы добавляется номер главы (например, «см. пример 3 из гл. 2«). В части 2 («Математическая статистика») имеются ссылки на часть 1 (« Теория вероятностей«), и тогда добавляется «часть 1« (например, «см.

часть 1, гл. 2, параграф 3«). В книге приняты следующие соглашения об использовании математических знаков равенства и приближенного равенства. Соотношение Г == д означает тождественное равенство функций Г и д при всех значениях аргумента. Запись а = д означает асимптотическое равенство а и Ь при использовании предельных формул и эквивалентна математическому соотношению а = Ь + о(1). Наконец, запись а — = Ь означает равенство а и Ь с точностью до ошибок округления.

В книге приводятся отдельные списки литературы для первой и второй частей. При этом принят следующий порядок: сначала по возрастанию сложности идут учебники, затем — дополнительная литература для тех читателей, кто желает более глубоко ознакомиться с тем Предисловие. или иным разделом, и, наконец, также по возрастанию сложности приводятся задачники, При написании настоягцей книги были использованы материалы учебника Б. В.

Гнеденко и задачника Л. Д. Мешалкина (см. [8[ и [17), литература к части 1). Кроме того, хотя в приложении и приводятся таблицы значений распределения Пуассона, плотности нормального распределения и интеграла Лапласа, для решения примеров по математической статистике необходимо иметь статистические таблицы Л. Н.

Большева и Н. В. Смирнова ([1], литература к части 2). Авторы благодарны всем лицам, оказавшим помощь при подготовке настоящего издания. Бочаров П. П., Печинкин А. В. 2005 г. Введение Теория вероятностей и математическая статистика относится к числу прикладных математических дисциплин, поскольку она направлена на решение прикладных задач и возникла из чисто практических потребностей, а использует математические методы. В свою очередь двойное название дисциплины говорит о том, что в ней можно выделить два направления: теорию вероятностей и математическую статистику.

Если попытаться кратко объяснить, чем занимаются каждое из направлений, то это будет выглядеть так: теория вероятностей производит пересчет заданных вероятностей «простых» событий в вероятности «сложных» событий, а математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятности событий или проверяет, правы ли мы в своих предположениях относительно этих вероятностей. Постараемся подробнее остановиться на том, какие закономерности изучает теория вероятностей и математическая статистика и какое отношение это имеет к практике. Начнем с первого направления теории вероятностей. Уже само название наводит на мысль, что основная задача теории вероятностей изучение численных закономерностей в опытах, результаты которых не могут быть предсказаны однозначно до проведения испытаний. Для того чтобы лучше понять существо дела, выясним подробнее тот смысл, который вкладывается в понятия «вероятно», «маловероятно», «весьма вероятно». Первое необходимое условие употребления этих понятий заключается, как уже говорилось, в невозможности предсказания исхода некоторого действия.

Так, мы не можем предсказать, какой стороной упадет подброшенная монета, сколько очков выпадет на игральной кости, сколько времени проработает электрическая лампочка, какое вещество образуется в результате определенной химической реакции (если, конечно, результат не предопределен известной нам теорией), сколько частиц будет зарегистрировано счетчиком Гейгера-Мюллера за заданный промежуток времени, какой номер телефона у знакомого, какая будет погода 1 июня 2010 г. и т.д. Однако погоду 1 июня 2010 г. мы не будем знать до этого дня, а после наступления 1 июня 2010 г.

она будет полностью определена. Поэтому применение слов «маловероятно», «весьма вероятно> к погоде именно 1 июня 2010 г. некорректно из-за невозможности повторения испытания и погодой 1 июня 2010 г. до этого дня занимается метеорология, а после — история, но никак не теория вероятностей. Итак, второе необходимое условие — возможность повторения испытания Введение с первоначальным комплексом исходных данных, причем, хотя бы теоретически, бесконечное число раз.