XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 6

1.14. По мишени производят три выстрела. Пусть событие А;, 1 = 1, 2, 3, — попадание при с-м выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий А; или А; следующие события: а) А — три попадания в мишень; б)  — три промаха; в) С вЂ” хотя бы одно попадание; г) Ю вЂ” хотя бы один промах; Е СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ д) Š— не менее двух попаданий; е) Р— не больше одного попадания; ж) С вЂ” попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

Ответ: а) А = А1АгАз' б) В = А1 Аг Аз' в) С=А10Аг0Аз1 г) Р=А10Аг0Аз~ д) Е = А1АгАз 0 А1АгАз 0 А1АгАз 0 А1АгАз,' е) Р=А1АгАз0А1АгАзиА1АгАз0А1АгАз, ж) С=А1Аг. 1.15. Монету подбрасывают три раза. Опишите пространство элементарных исходов Й и определите подмножества, соответствующие следующим событиям: а) А — „герб" вьшал ровно один раз; б)  — ни разу не выпала „цифра"; в) С вЂ” вьшаяо больше „гербов", чем „цифр"; г) Р— „герб" выпал не менее двух раз подряд. Ответ: й = ((Г, Г, Г), (Ц, Г, Г), (Г, Ц, Г), (Г, Г, Ц), (Г, Ц, Ц), (Ц, Г, Ц), (Ц, Ц, Г), (Ц, Ц, Ц)); а) А = ((Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г)1; б) В = ((Г,Г)Г)); в) С = ((Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц)); г) Р = ((Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Г,Ц)).

1.16. Пусть А, В, С вЂ” случайные события. Выясните смысл неравенств: а) АВС=А; б) АиВОС=А. Ответ: а) А С ВС, т.е. событие ВС происходит всегда, когда происходит событие А; б) В С А, С С А, т.е. всякий раз, когда происходит В или С, происходит также и А. 1.17. Пусть А С В.

Упростите выражения: а) АВ; б) АОВ; в) АВС; г) АИВ~3С. Ответ: а) АВ=А; б) АНВ=В; в) АВС=АС; г) АОВУС=ВОС. Вопросы и задачи 41 1.18. Используя свойства операций над событиями, докажите следующие равенства: щхоВос=АВС; б)хВс=АоВос. 1.19. Два игрока играют в шахматы. Событие А — выиграл первый игрок, событие  — выиграл второй игрок. Что означают события: а) АВ; б) В~А; в) А~В? Ответ: Во всех случаях ничья. 1.20. Схема электрической цепи приведена на рис.

1.5. Через участок схемы, вышедший из строя, ток не проходит. Пусть событие А; — выход из строя элемента 4, 4 = 1, 6. Выразите события А и А через события А;, если А — выход из строя 6 всей схемы. Ответ: А = А4Аз 0 Аз(Аз 0 г 3 0А4) 0Ае', А = (А~Хр)(Аз(Аз 0 А4))Ае. Рис. 1.5 1.21. На рис. 1.6 представлена структурная схема надежности некоторой системы. Пусть события А и А; означают отказ системы.и згго элемента соот- 1 3 ветственно, 4 = 1, 4.

Выразите г события А и А через события А; и А;, 4=1,4. О т в е т: А = (А 4 Аг 0 Аз) А4; А = (А1 0 Аз)Аз 0 А4 Рис. 1.6 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Говоря о собмшклх, мы с различной степенью уверенности относимся к возможности их наступления. Так, с большей уверенностью можно утверждать, что при однократном подбрасывании монеты выпадет „герб", чем при однократном бросании игральной кости — 6 очков. Говорят, что первое событие более вероятно, чем второе. Что же такое веролшкость события? Возникает мысль поставить каждому событию А в соответствие некоторое число Р(А), которое характеризует меру возможности появления этого события.

Если принять, что Р(й) = 1 и Р(Э) = 0 (хотя возможны и другие допущения), то естественно ожидать, что для любого события А выполняется условие 0 < Р(А) < 1. Определение вероятности как меры возможности появления события в современной математике вводится на основании аксиом. Но, прежде чем перейти к аксиоматическому определению, остановимся на нескольких других определениях, которые исторически возникли рвльше.

Они, с одной стороны, позволяют лучше понять смысл аксиоматического определения, а с другой — во многих случаях являются рабочим инструментом для решения практических задач. Приведем их, следуя хронологическому порядку появления. 2.1. Классическое определение вероятности В классическом определении вероятности исходят из того, что кросшракство элвмвкшаркых исходов й содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновоэможности поясним следующим образом.

Элемекпзаркые исходы в некотором опыте называют равковоэможкыми, если в силу условий проведения опыта 43 2.1. Клеесичесхее определение еераатлоети можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также „классической схемой". Пусть Ф вЂ” общеечисло равновозможных элементарных исходов в й, а ФА — число элементарных исходов, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А.

Определение 2.1. Вероятпностпью события А называют отношение числа МА благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу Ж равновозможных элементарных исходов, т.е. Р(А) = —. д~А Ж Данное определение вероятности события принято называть кяпссическим определением еероятпности. Заметим, что наряду с названием „классическая схема" используют такженазвания „случайный выбор",„равновероятный выбор" и т.д.

Пример 2.1. Иэ урны, содержащей х = 10 белых и 1 = = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. 'Хребуется найти вероятность Р(А) события А, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар. Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне Ж= я+1 = 30, причем все исходы равновозможны, а число благоприятствую- щих событию А исходов 44 г.

вкроятность Поэтому в соответствии с определением классической вероятности й 1 Р(А) = — = —. ф й+1 3 Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства. Свойство 2.1. Для любого события А вероятность удовлетворяет неравенству Р(А) ) О. Свойство очевидно, так как отношение Мл/Ф не может быть отрицательным. Свойство 2.2. Для достоверного события й (которое содержит все Ф элементарных исходов) Р(й) =1.

Свойство 2.3. Если события А и В несовместны (АВ = Я), то Р(А+ В) = Р(А) + Р(В). Действительно, если событию А благоприятствуют Ж~ исходов, а событию  — Фз исходов, то в силу несовместности А и В событию А+ В благоприятствуют Ф~ + Фз исходов. Следовательно, Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например: Р(А) = 1 — Р(А); Р(Я) = О; Р(А) < Р(В), если А С В. Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. 2.2.

Вычисление леролтностей с помшцыо формул комбинаторики 45 Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные. 2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики.

Теорема 2.1. Пусть даны п1 групп элементов, причем 1-я группа состоит из н; элементов. Общее чисю Ф способов, с помощью которых можно осуществить указанный выбор, определяется равенством д~ = н1н2 ° ° ° %а. Это выражение называют основной формулой комбинато- рики. ~ Воспользуемся методом математической индукции по числу групп т. Очевидно, что основная формула комбинаторики справедлива для т = 1.

Предполагая ее справедливость для т > 1, покажем, что она выполняется также для т+ 1. Действительно, поскольку первые т элементов можно выбрать и1нг...гьа способами, а (т+ 1)-й элемент можно выбрать н +1 способами, то все т+ 1 элементов можно выбрать (н1нз... н, )но,+1 = = н1нз... нт+1 способзмн„~ Пример 2.2. В трех ящиках находятся радиодетали трех типов с различными значениями параметров. В первом ящике 46 2. ВЕРОЯТНОСТЬ ящике находится п1 = 20 резисторов, во втором — пз = 15 конденсаторов и в третьем — пз = 10 транзисторов. Найдем вероятность Р(А) того, что схема, собранная из выбранных наугад трех элементов разного типа, будет содержать элементы с минимальными значениями параметров.

Согласно определению 2.1 классической вероятности, Р(А) = —, 1~А где М вЂ” общее число элементарных исходов; М,~ — число исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно, что а в силу основной формулы комбинаторики Ж = п1пзпз = 3000. Поэтому искомая вероятность Р(А) = —. 1 3000 Предположим теперь, что имеется группа из и различных элементов и из этой группы нужно выбрать тп элементов. Определение 2.2. Результат выбора т элементов из группы, содержащей о элементов, будем называть выборкой из и элементов по т. Если при этом элемент после выбора снова возвращается в группу, то выборку называют выборкой с возврап4еккем. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения.

Заметим, что в любом случае результат выбора тп элементов из группы, содержащей п элементов, будем называть выборкой. л.л. Вьгьислеиие иероетиостей с помощью формул иомбиивториии 47 Онределенне 2.3. Выборку, в которой не учитывают порядок выбора элементов, называют сочетпанием, а выборку, в которой учитывают порядок выбора элементов, — размещением. При этом если рассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение) называют сочепьанием (размещением) с поепьоренилми, а если рассматривают выборку беэ возвращения, то сочетание (размещение) называют сочетпанием (размещением) без поепьорениб, или просто сочетпанием (розмещением).

Замечание 2.1. Размещение без повторений из п элементов по и элементов называют перестпановноб из п элементов. Теорема 2.2. Число размещений (без повторений) из и элементов по тп определяется формулой А~~ = п(п — 1)... (и — то+ 1) = ть(п — 1)...2 1 (и — тп)(п — тп — 1)...2 1 (и — тп)ь' ~ Число А'„" размещений (беэ повторений) подсчитаем следующим образом: первым можно выбрать любой из п элементов, вторым — любой из и — 1 оставшихся,..., то-м — любой иэ и — та+1 элементов.