XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 5

С точки зрения здравого смысла собыпше — это то, что мы наблюдаем после проведения опыта. В частности, если можно после опыта установить, произошли или нет события А и В, то можно также сказать, произошли или нет события А и В, объединение, пересечение и разность событий А и В. Таким образом, о- апгебра событий обязана быть классом подмножеств, замкнутым относительно приведенных операций над подмножествами, т.е. указанные операции над элементами (подмножествами) данного класса приводят к элементам (подмножествам) того же класса.

Дадим теперь строгое определение о-алгебры событий. 33 1.3. Сигма-аагебрв событий Определение 1.11. Сигма-алгеброй (ст-алгеброй) 3 называют непустую систему подмножеств некоторого множества .7, удовлетворяющую следующим двум условиям. 1. Если подмножество А принадлежит З, то дополнение А принадлежит З. 2. Если подмножества А1, Аз, ..., А„,...

принадлежат З, то нх объединение А1 0 Аз 0 ... 0 А„0 ... и их пересечение А1А0 ... А„... принадлежит З. Поскольку .7 = А 0 А и И =,7, то множество .7 и пустое множество Э принадлежат 2Ъ. Рассмотрим пространство элементарных исходов Й. Элементы некоторой о-алгебры В, заданной на Й, будем называть событпилми. В этом случае о-алгебру З принято называть сигма-алгеброй (сг-алгеброй) событпий. Любая о-алгебра событий содержит дос~воверное собьнние Й и невозможное событпие ю. В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов Й в качестве о-алгебры событий обычно рассма тривают множество всех подмножеств Й. Замечание 1.3.

Если в условии 2 счетное множество событий заменить на конечное, то получим определение алгебры собы0пий. Любая о-алгебра событий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Пример 1.8. Пусть опыт состоит в подбрасывании один раз тетраэдра, каждая грань которого помечена одним из чисел 1, 2, 3 и 4. Очевидно, что пространство элементарных исходов Й в этом опыте имеет вид Й = (~1 ыз~ ыз 0~07 где о; — падение тетраздра на грань с числом 0, 1 = 1 4 2 — 10047 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 34 Поскольку в рассматриваемом опыте может происходить одно иэ следующих событий: (ж1), (ыг), (аз) (ь14)> (ы1> «'~2)> 1»11> ь13)> (»11> ь14)> (»12> <>13)> 1»12> ы4)> 1ь13> <14)> (ь11> ы2> ыЗ)> (»>1> ь12> ы4)> (ы1> ыз> ы4)> (~'12> ь>3> ы4)> (Ы1> Ь12> ЫЗ> ~'14)> то алгебра событий будет содержать все подмножества й, включая й (достоверное событие) и Я (невозможное событие).

Пример 1.9. Пусть опыт состоит в случайном бросании точки на числовую прямую К1 = ( — со, +со), которая в данном случае будет представлять собой пространство элементарных исходов й. Ясно, что, зная результат опыта, всегда можно установить, попала или нет точка в любой из промежутков [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь], (а, Ь). Поэтому относительно а-алгебры событий 23 предполагают, что она содержит все эти промежутки. В принципе могут существовать различные о-алгебры, удовлетворяющие этому требованию.

Но среди них есть одна о-алгебра, элементы которой принадлежат всем остальным. Ее называют минимальной или борелеескоб, о-а,язеброб на числовой прямой. Аналогично определяют борелевскую сг-алгебру и в К», и) 1. В заключение заметим, что с точки зрения повседневной практики подмножества пространства П элементарных исходов, не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в практических задачах никогда не встречаются.

Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому мы предлагаем при первоначальном знакомстве с теорией веро- 35 1А. Решевве типовых примеров ятностей под событием понимать произвольное подмножество пространства Й элементарных исходов, а под и-алгеброй событий — совокупность всех подмножеств множества Й. 1.4. Решение типовых примеров Пример 1.10. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Опишем пространство элементарных исходов Й и укажем состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: а) А — число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, кратно трем; б)  — на верхней грани игральной кости выпало нечетное число очков; в) С вЂ” число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, больше трех; г)  — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, меньше семи; д) Š— число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, не является целым числом; е) Р— число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, заключено в пределах от 0,5 до 1,5.

Установим пары совместных событий. Пространство элементарных исходов в данном опыте имеет вид Й = (а~1> ь~з~ <~~3~ ь~4~ мб~ <~б)ь где ы; — выпадение на верхней грани игральной кости б очков. а. Очевидно, что событие А происходит тогда и только тогда, когда выпадает либо 3, либо 6 очков,т.е. А = (юб, ыб). Аналогично получаем следующие выражения для остальных описанных событий. б В=(ып ыз, ыб) в.

С = (ш4 ыб ыб)' г. В = ~ь~м ь~2, ь~з~ ь~4~ ь~б~ шб) = Й. 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 36 д. Е= И. е. Р=(иь). Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих злементов, находим пары совместных событий: А и В; А и С; А и В; В и С; В и Р; В и Р; С и ВЧ Р и Р. Пример 1.11. Игральную кость бросают один раз. События А, В, С, Р, Е и Р определены в примере 1.10. Опишем следующие события: а) 01— - В; б) Сз =С; в) Сз =АВ; г) 04=АОВ; д) Сз =А~В; е) Сз=ЕОЮ; ж) 07 = ЕР. а. Событием, противоположным событию В, является выпадение четного числа очков, т.е. 01 = (ыз, ы~, шз).

Аналогичные рассуждения приводят нас к следующим результатам. б. Сз = (ю1,ыз,шз) — выпало не более 3 очков. в. Сз = (ыз) — выпавшее число очков нечетно и кратно трем, т.е. равно трем. г 04=(мм ьз, ьз, азу — вьшавшеечислоочковилинечетно, или кратно трем. д. (юз) — выпавшее число очков четко и кратно трем, т.е. равно 6. е. Сз = И 0 Р = Р = Й. ж. 07 = вР = а. Пример 1.12. Из множества супружеских пар наугад выбирают одну пару. Событие А — мужу больше 30 лет, событие  — муж старше жены, событие С вЂ” жене больше 30 лет.

Выясним смысл событий: а) АВС; 37 1А. Ретеиие типовых примеров 6) АГАВ; в) АВС. Покажем, что АС С В. а. АВС вЂ” оба супруга старше 30 лет, причем муж старше жены. б. А 1 А — мужу больше 30 лет, но он не старше своей жены. в. АВС вЂ” оба супруга старше 30 лет, причем муж не старше своей жены. АС вЂ” пересечение событий; мужу больше 30 лет, а жене не больше 30 лет. Следовательно, муж старше жены, т.е. АС С В. Пример 1.13.

Пусть А,  — произвольные события. Докажем следующие равенства: а) (А 0 В) (А 0 В) = А; 6) (А0ВЦА0В)(А0В) = АВ. Используя свойства операций над событиями, получаем: а. (А0В)(А0В) =ААОАВ0АВОВВ=А0А(ВОВ)0ю= =А0А= А. 6. (А0ВИА0ВИА0В) =А(АОВ) =АВ. Пример 1.14. Выясним, в каких случаях совместны (в совокупности) события А0В, А0В и А0В? Так как (А 0 В)(А0 В)(А 0 В) = АВ, то события А0В, А 0 В и А 0 В совместны тогда и только тогда, когда совместны события А и В. Пример 1.15.

Схема электрической цепи приведена на рис. 1.4. Выход из строя эле. мента е — событие А;, т' = 1, 4. Запишем выражения для событий А и А, если А означает разрыв цепи. Разрыв цепи произойдет, если выйдет иэ строя элемент Рис. 1.4 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 38 1 или все три элемента 2, 3, 4, т.е. произойдут событие А1 или событие АгАзА4. Поэтому А = А4 0 АгАз А4. В соответствии с законами де Моргана находим А = А1 0 АгАзА4 = А1 (Аг 0 Аз 0 А4) Вопросы и задачи 1.1. Что понимают под пространством элементарных исходов? 1.2. Что называют случайным событием? 1.8.

Какое событие называют достоверным? Какое событие называют невозможным? 1.4. Какие действия над событиями Вы знаете? 1.5. Какие два события называют несовместными? Какие события называют совместными? 1.6. Какие и событий (и ) 2) называют несовместными попарно? в совокупности? 1.7. Какие события называют противоположными? 1.8. Перечислите свойства операций над событиями. 1.9. В каком случае говорят, что событие А включено в событие В? 1.10.

Какими свойствами должна обладать некоторая система подмножеств пространства элементарных исходов й для того, чтобы быть ~т-алгеброй событий? алгеброй событий? 1.11. Что называют борелевской и-алгеброй на числовой прямой? Вопросы я аадачя 1.12. Случайным образом выбирают одну из 28 костей домино. Опишите пространство элементарных исходов й. Перечислите все элементарные исходы, из которых состоят следующие события: а) А — на выбранной кости очки совпадают; б)  — сумма очков на выбранной кости равна 6; в) С вЂ” произведение числа очков на кости нечетно; г) В1А; д) АВ; е) АС; ж) АВ1С; з) (АОВ)С. Ответ: й = ((1,у), 1,у =0,6, 1<у1; а) А= ((0,0), (1,1), ..., (6,6Ц; б) В = ((0,6), (1,5), (2,4), (З,ЗЦ; в) С = 1(1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5Ц; г) В~А =Ц0,6) (1 5) (2 4Ц; д) АВ= С(З ЗЦ' е) АС=((1,1), (3,3), (5,5Ц; ж) АВ1С=И; з) (АОВ)С = ((1,1), (1,5), (3,3), (5,5Ц.

1.13. Производят обследование случайным образом выбранной семьи, имеющей четырех детей, с целью определения пола этих детей. Пол каждого ребенка отмечают в порядке старшинства. Определите: а) иэ какого числа элементарных исходов состоит пространство элементарных исходов; б) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых первый ребенок — девочка; в) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых есть дети обоего пола. Ответ: а) 16; б) 8; в) 14.