XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности), страница 4

Здесь же мы вводим определение 1.2 по двум причинам. Во-первых, основная цель настоящего параграфа — наглядно показать, как физическое понятие случайного события формализуется в математических понятиях теории множеств, и описать операции над событиями. Во-вторых, определение 1.2 вполне удовлетворительно можно применять для решения практических задач, в то время как строгое определение события служит лишь для построениятеориивероятностейкак разделасовременнойматематики, оперирующей логически безупречными, но сложными для неподготовленного читателя понятиями. Часто используется следующая терминология: говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов ы Е А. 25 1.2.

События, действия яад вими Замечание 1.1. Во многих учебниках по теории вероятностей (и в данной книге тоже) для удобства изложения материала, особенно при решении задач, термин „событие" как подмножество пространства элементарных событий й отождествляется с термином „событие произошло в результате опыта", или „событие заключается в появлении таких-то элементарных исходов".

Так, в примере 1.2, где й = (ы;,з = 1, 61, событием А является подмножество (и1, ыз, шз1. Но мы будем также говорить, что событие А — это появление любого из элементарных исходов ы;, з = 1,3,5. Пример 1.5. В примере 1.2 было показано, что при однократном бросании игральной кости 1 = Гбу, где м; — элементарный исход, заключающийся в выпадении 1 очков.

Рассмотрим следующие события. "А — выпадение четного числа очков;  — выпадение нечетного числа очков; С вЂ” выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно,что А = (ыз, ю4,мз1, В = (ым шз, язв и С = (шз из). Определение 1.3. Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют доспзовериым собьзпзиедз. Достоверное событие, как и пространство элементарных исходов, обозначают буквой Й. Определение 1.4. Событие, не содержащее ни одного эле.

ментарного исхода, т.е. событие, которое нвкогда не происходит в данном опыте, называют иевоэ иоисиььи собыпзиеи. Невозможное событие будем обозначать символом Ы. Пример 1.6. При бросании игральной кости достоверное событие можно описать, например, как выпадение хотя бы одного очка, а невозможное — как выпадение 7 очков. ф 1.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаераммы Эйлера — Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1.1). При этом каждый элементарный исход ю соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А — некоторому подмножеству точек этого прямоугольника. Трактовкой диаграммы Эйлера — Венна может служить опыт с броса- 'Ш вием случайным образом частицы в прямоугольник. Тогда элементарный исход ы— А это попадание частицы в точй ку ы прямоугольника, а событие А — в часть прямоугольника, задаваемую подмножеРие.

1.1 ством А. Рассмотрим теперь операции (дейстпвил) над событпилми, которые, по существу, совпадают с операциями над подмножествами [1]. Эти операции будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера — Венна. На рис. 1.2 заштрихованы области, которые соответствуют событиям, являющимся результатами таких операций. Определение 1.5. Пересечением (произведением) двух собьнвий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события А и В, т.е. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию А, и событию В (рис.

1.2, а). Пересечение событий А и В записывают следующим образом: С=АПВ, или С=АВ. Определение 1.й. События А и В называют несовмесшными, или непересенающимисл, если их пересечение является невозможным событием, т.е. если АП В = ю (рис. 1.2, б). 27 1.2. Событяв, действия явя яяня В противном случае собыпию.я называют соемеспвными, или пересекающимися. Рис.

1.2 Определение 1.7. Объединением (суммой) двух событиий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно ю событий А или В, т.е. событие С, состоящее иэ тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному ю подмножеств А или В (рис. 1.2, в). 1.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 28 Объединение событий А и В записывают в виде С=А0В. Если события А и В несовместны, наряду со знаком „О" для их объединения употребляют знак „+". Обычно знак „+" применяют в том случае, если заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть.

Например, поскольку невозможное событие И несовместно с любым событием А, то ЯЦА = и+А= А. Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие А1Аз...А„...

= й А„ в=1 состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем собы- тиям А„, п Е 1Ч, а событие А1иАзо...иА„о... = о А„ состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному иэ событий А„, и Е М. В частности, событпил А1, Аз, ..., А„называют попарно несовместпными (непересекаютаимися), если АА =о для любых т',у =1,п, 1~у, и несовместпными (непересекаютаимисл) в совокупности, если А1Аз...А„= И. Определение 1.8. Разностпью двух событпиб А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т.е. 29 1.2.

Событии, Лейстиии иад ииии событие С, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат А, но не принадлежат В (рис. 1.2, г). Разность событий А и В записывают в виде: С=А~В. Определение 1.9. Дополнением собьипил А (обычно обозначают А) называют событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис.

1.2, д). Другими словами, А=0~А. Событие А называют также событием проьпиеополож- иым событию А. Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала переходят к дополнениям, а затем умножают и, наконец, складывают и вычитают (слева направо) события. Так, формула С = А1АзВ1 0АзВз ~ Вз эквивалентна формуле С = ( [А1(Аз)В11 0 [Аз (Вз) ~ ) ~ Вз. Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат законы де Моргана, а также соотношение А~В=АВ.

Кроме перечисленных выше действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Определение 1.10. Событие А включено в событие В, что записывают А С В, если появление события А обязательно 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ зр влечет за собой наступление события В (рис. 1.2,е), или каждый элементарный исход ы, принадлежащий А, обязательно принадлежит и событию В. Ясно, что включение А С В эквивалентно равенству АВ = А. Используют и обратное понятие: событие В включает событие А (В ЭА), если А С В. Пример 1.7.

Рассмотрим техническое устройство (ТУ), состоящее из т элементов. В теории надежности принято говорить, что элементы соединены последовательно, если ТУ прекращает функционировать при отказе любого элемента, и соединены параллельно, если прекращение функционирования ТУ наступает только при отказе всех т элементов. Условное изображение последовательного и параллельного соединений представлено на рнс. 1.3, а и б соответственно. Обозначим А событие, означающее отказ ТУ, а А; событие, означающее отказ 1-го элемента (1 = 1,тп). Тогда события А и А; связаны соотношениями: для рис. 1.3, а А = А1 0... 0 А для рис. 1.3, б А = А1 й... П А Рис.

1.3 Очевидно, что при параллельном соединении элементов событие А включено в каждое событие А;, 1 = 1, т, а при последовательном соединении, наоборот, любое событие А;, 1 = 1,т, включено в событие А. У 1.2. Событию, действии иод ними Приведем основные свойства операций над событиями, справедливость которых нетрудно проверить с помощью диаграмм Эйлера — Венна (проделайте зто самостоятельно). 1.

Коммутативность суммы и произведения: А0В = В0А, АВ = ВА. 2. Ассоциативность суммы и произведения: А0ВОС=А0(В0С), (АВ)С=А(ВС). 3. Дистрибутивность относительно сложения: (А0В)С = АС0ВС. 4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свойство, не выполняющееся для чисел): АВ 0 С = (А 0 С) (В 0 С).

5. Включение А в В, т.е. А С В, влечет за собой включение В в А, т.е. А Э В. 6. Совпадение двойного дополнения с исходным событием: А=А. 7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самим событием А0А=АА= А. 8. Зоиоиы де Моргана: А0В=АВ, АВ = А 0 В. Замечание 1.2. Законы де Моргана верны для любого конечного числа событий: А1 0 Аз 0... 0 А„= А1 Аз ... А„ хх...л„=тих о...их.

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.3. Сигма-алгебра событий 32 'Строгое обоснование основ теории вероятностей можно найти в специальной математической литературе (см., например: Колмоеорое А.Н, Основные понятия теории вероятностей. Мл Наука, 1974). Настоящий параграф носит ознакомительный характер и ни в коем случае не претендует на строгость изложения'. Необходимость его введения обусловлена тем, что современная теория вероятностей основывается на понятии вероятностного пространства, одним из трех компонентов которого являетсл сигма-алгебра событий. В предыдущем параграфе мы назвали событием любое подмножество пространства элементарных исходов Й. Такое определение допустимо, если Й является конечным или счетным множеством.

Оказывается, однако, что в случае несчетного множества элементарных исходов уже нельзя построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество множества Й. Поэтому событиями в этом случае называют не любые подмножества элементарных исходов, а только подмножества из Й, принадлежащие некоторому классу В. Этот класс в теории множеств принято называть сигма-алгеброй событий (пишут о-алгебра).