МУ-С-3 (Распределение Ферми-Дирака)

Масвсвский тссуварствсвнмн ахни твсмй з»и оси т имени Н 3. Баумана Распределение Ферми — Дирака. Явление Зеебека Метод»веские указа» ии и лаборант»реей рабоще С-з по курсу обще» ф»зиктт Москва Изва~свьс1во МИГУ им. Нри Баумана 2013 УДК 538.3 ББК 22.33 Ргд де!приз: Н.А Задорожнмй, А.В Сю козе!Фа, СЛ У и мо, А В Крааиоц В Г Збкуб а Р Чеизент ЕА Власова Расирепедение Ферми — Днраке. Яииеине Зееб«к», мсР24 зод, углзаниа з С.Д.

Тимченко н др — М Изд-во МГТУ НСКБау а,2013.— 27,ЗЗЗс. 1ВНН 978-5-7038-3721-4 дика и е зкс р мс а, порки « пбраб пю и лучеипмз рс- Р « '! Н Д. уа аы рюигрю опсфакупаюз ис удснш рс е зи ю Ню п м мднч юй юмис ней Научи учебною *к кФундм июа н юукю М!'Туп. НН Баума а УДК 538 3 ББК 22.33 !ББН 978-5-7038-3721-4 ОМГЗУ НЭ Бау ма,2013 Цель работы — изучение кеангово-статистического распределения Ферми — Дирака для электронною газа в металле, явления возникновения тсрмозлсктродвижущей силы (ТЭДС) прн «онтакге ме.аллое, экспериментальное исследование ящения Зсебека.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1. Распределеиие Ферми — Днрака Для описания систем, состоящих из большщо числ» частиц, требуется применять статистический подход )1, 2Б По свойствам часпщы разделяют на квассическис, которые принято нщывать различимыми, и квантовые, неразличимые. Для «вавтовых часпгц справедлив принцип тождественности одинаковых часпщ. одина«овыо частицы данной квантовой системы принципнавьно нсразлнчнмы, т.е, в системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, ксторые нс щмсняются при перестановке частиц местамн.

Данный квагповый подход к системс тождественных частиц позволяет получить волновые функции, описывающие состояние системы, и установить связь свойств симметрии волновых функций со спинам частиц. Эти свойства оказываются различными дзы часгиц с нулевым или целым значением спина (бетонов) н частиц с полуцелым значением спина (фермионов) Бозоны подчиняются статистике Бозе — Зйназтейна, а фермианы — стюистикс Ферми — Дирака. Фсрмионы являются частицами-индиюгдуалнсгами и подчиняются принципу, нли запрету, Паули, который был сформулирован Вольфгангом Паули в 1925 г. Согласно принципу Паули в системс тождественных фермионов нс может существовать двух частиц, нахопжцижя в одном н том же квантовом состоянии.

Рассмотрим ндезльньгй ферми-газ [3] как систему, состоящую нз невжимодействующих фермиоиов. С учетом равновероятностн микросостояиий составляющих системы среднее число фермичастнн )и), прнходащихся на одно квантовое состояние с знерпюй Е при температуре Т, соответствует выражению ! бгг)ч д.— (Ь Р) где Р— химический потенциал ферми-газа; Й вЂ” постоянная Больцмана. Соотношение )1) называется распределением Ферми — Дирака Значснве 1гг)о д нс мохсет быть больше единицы Это озвачает, что в одном квантовом состоянии не может находнтьс» более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули ПосколькУ 1п)о д < 1, то, согласно статичесюмУ подходУ, пгвоРЯт, что распределение б!) определяет вероятность заполнения энергетическою уровня с знергмей Е при температуре Т.

На рис. ! по«азано распределение Ферми — Дирака при темперзтур» Т =- О К. си с Л г=о -Е:Л ЕРЩ) Е Рнс. 1. Рашретслс не Ферм» вЂ” Дяраяа яря Т вЂ”. О К В случае малых чисел заполнения, когда имеет место разреженный ферми-газ, справедливо условие 1п)о и « 1, которое вы- Е Р полняется при ~ 1, из )1) получается классическое распре- )гТ деленве Максвелла Больцмаиа ) п),1, д ехр ( — ) = А ехр ( —,) . 2. Электронный газ в металлах Согласно модели свободных электронов в металлах предполагается, что лри образовании кристаллической решетки от атомов отщепляипся некоторые слабее всею связанные с ними валентине щеатраны Отшеплеиные лектроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемен!вися в кристалле Именно эпг электроны, в отлвчие от электровоз, заполняюлгих виугреннис знекгронлые оболочка атомов, обеспечивают электропроводносгь метюшов Поэтому их называют элекгронами проводимости Вместе с тем электролы проводимости в металлах не являются абсашпгно свободными и испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки.

Именно это взаимодействие определяет электрическое сопротивление металлов. Однако в первом нрибглыгении этим взаимолействием можнопрснсбречь. Справедливость тзкого подхода подтверждается, в частности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место только в случае достаточно свободною двюкения июктронов в пространстве ионного остова В кристаллической решетке металла электроны проводимости образуют электронный газ Рассмптрим поведение электронною газа при температуре Т = 0 К В эпэм случае электроны раслолмаются на самых нижних лоступных ллл них энергетических уровнях.

Согласно запрету Паули в щждам состоянии может находиться не более олипго электрона Однако за счет различия в проеггцни спина электрона с1/2 ца каждом энергетическом уровне может находиться по два электрона с ращичиой ориентацией спинов !рис 2) Ири щмпсрагуре Т.—.О К хвмичсский потенциал элегпронного ппа равен энергии Ферми О=Из,(0), а вероятность змюлнения данного энергетического состояния ферми-частицей сопгасно формуле (1) составляет (п)в д = 1,12. Бели числа эле«тронов в металле равно Р1, то при температуре Т =. 0 К будут заполнены первые Л'12 уровней с энергией И к Ем .

Все остальные уровни с энергией Е ) Е, будут свобслны. При температуре Т = 0 К максимальная энергия ьтекгронов В„, „совладает с знергнел Ферми Ьз (0). Найдем функцию распределения электронов проводимости ло энсрпщ. Плотность квантовых состояний для электронов в ме- Е =Ег<О) Ег(О) о спин вверх 1 ° — спин вниз 1 Рнс.2. Зм1слнелне ~иергетмгеекнх уровнеи злекгронамн притек~о р урер=ок галле.

т.е. число состояний, приходящихся н» единичный энерпм тичсский интервал рассматриваемого обьема, определяетсл выражением г зд 12] Здесь що — масса ферми-частипы (электрона); й = 1,00 к х 10" зк Дж-с — постоянная Планки Число состояний, приходящихся на интервал знерпгй от Е да Еф йЕ, составляет д1Е)йЕ. С учсточ вероятности заполнения данного энергетического состояния 1п),ь д находим число электронов одт', энергия которых лежит в интервале аг Е до Е .~.оЕ ИЕ = ргЕ) (п)Ф-д 1Е. Июегрируя зто выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в л~егалле; ~У = / ртЕ)тп)Ф-1!0Е о и й' ЕР йТ Концентрацию электронов в металле вычисжсм как — зТ» Фуню»ия рас»»реда»е»»ия свободных электронов ла энергиям »Ь» /2т~~ — 1 При температуре Т = О К функция Е1Е) имеет ш»д ,л.,УЕ, Е<Е,(а)» О., Е > Ел)О), (б) и распределение электронов по энергиям описывается выражением и» ,г "' а»»ЕЙЕ; Е С Ег 1'О); О, Е Е (О).

гювиси масть функции распределения» б) от энергии при температуре Т = О К приведена на рис 3 Из фи»ичсского смысла функции распределения следует, что плошадь под кривой Р1Е) численно равна «онцентрацни свободных электронов в металле и. Функиии распределения в статистической физике используют для опредсзення физических характеристик системы Например, если известна функция распределения час»нц по энергиям Г»Е).

Определим «о»шеи»рацию электронов в иитерюлс энергий ог Е до Е < ОЕ Г(б) т=о Ег(0) б Рнс.з. Фув г р Р л е р р Г(Г ) рн ем яр ур Т вЂ” ОК то можно найти среднее значение (,Г) любон фн ш ~сскгги нслн ~нвы т", залнсюдей пт Е, ггспольгуя соотношение / )(Е)Г(Е)ДЕ о 1 / ~(Е)Е(ру)дб Г(Е)ДЕ а Пгаучим выражение длл энергии Ферми Ег (0) прн температуре Т = 0 К. Для этого воспользуемся соогногненнем (4),ш» концентрации электронов и.

Поскольку при Т = 0 К для энергетнческопз интервала Е К Ег(О) (п)4, и = 1, а для и~ггервала е > ек(О) (п)н тг —— - О, верхний преде.г интеграла в выражении (4) следует заменить на Ег:(0) Интегрируя (4), находим. — ГИДЕ= - -'- „-'- (Ен(О))ттт. (О) згзбз 3 нзйз о Из фервузам (8) выразим энергию Ферми нри юмпсразурс Т =- 0 К; дл Еь (0) = — (Зн~п)Ф~. (гт) йшо Соатногггенис (9) позволяьч, зная концентраюгю элекзронов и, найзи энергию Ферми Ер(0) или, наоборот, па известной энсрпги Ферми найти конлеш радию свободных элекгрпнов в металле. (2 Ез (0) При зюм можно определить скоросгь з к = з( и импульс пзс ферми-электронов рк = ьг2юс Ек(0) Пленим энергию Ферми для свободных юекзронов в металле при темперазурс Т.=-О К Пусть п =5.10за м т,то~да (ПО5 10-ы7з Ек(0)=, (3 3,14 5 10ФРМ~-=8 10 'эДж — 5зВ.

2 0.01 И- Таким образом, энерг и» Ферми Ек (01 вля зле кзро нов в металле составляет нес»опию злектрогг-вольт Нарялу с энергией Ферми вводят понятие температуры Ферми ?г: йТ» = Ел(0), илн Тз: = Ел (0) й (10] Дзя металлов прн Ек(0) = б эВ темдерюура Ферми иьзеет значение Тк = 6 10е К, что более чем в 200 раз превьипасг комнатную температуру Существует поюпне темперпуры вырождения злектроннога газа '!емпературой вырокденин называюг температуру, ниже которой прояввяются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его частиц Значение температуры вырождения находят по формуле (107 При температуре Т < Тк, т.е, при йТ < Ек(О).

электронный газ в мстаюах является вырожденным Прн гемпервурс Т > Тз, т.е прн РТ > Еэ.(0\, электронный газ не выражден Поскольку температура Ферми Тк для металлов имеет значение порядка 1О К, то электронный газ в металлах оказываюся вырожденным прн всех температурах, прн которых металл остаетс» в твердом состоянии. Рассмотриьг теперь случай ненуловой температуры. Внд распределения Ферми — Дирака прн Т привелен на рис 4 Гак «азываеча» харак~ерина ступенька в распределении (см рнс, П при Т > 0 ркзчывветсв и переход от заполненных электронами состояний к нсзсполненньгм происходит более зюавно Все «остоянця, юсргна которых ~еньюе энергии Ферми на величину йТ, запяты электронами.

Все сосю»ни». энергия мпорых превосходит энергию Ферми на велес»негу РТ. оказываются т 0 л г,о о, ,5 ! етдсз е Рис. 4. Распределенно Ферми — Дирака при теллера~эре т > 0 К 5(Е) Уз о -з,у, ! 5<0~ й О Рнс.5.Функцняраслрсделення электронов па элер~ «м ГгЕз р елератзре 7>0 К 10 свободными То сеть в области энергий пгириной 07 вблизи энергии Ферми имеютс» состояния, частично залоэнсннмс нгсктронами Ширигга этой области невелика по сравнению с энергией Ферми.