Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V (Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V.djvu), страница 6

По умолчанию неряхе = 0.2; в/ервйе = Ь вЂ” число шагов интегрирования. Знак перед числом показывает, что шаги будут выполнены вперед линзе!ерв = <!п1еяег> Первый аргумент, рй//еу, должен быть списком, состоящим из Р, Я и К. Они могут быть заданы или как выражения, или как функции ( операторы ). Например, формы [(х,у,х) -> х"2"у, (х,у,ц) -> ц"3/х, (х,у,ц) -> з!п(х*у)*ц] и [х "2"у, ц"3/х, з]п(х'у)ьц] эквивалентны и образуют дифференциальное уравнение в частных производных: х" 2*у"Р[1](ц)(х,у) + ц" 3/х'Р[2](ц)(х,у) = з!п(х*у)*ц. В аргументе рйДег/ нельзя употреблять имена констант, а можно только имена переменных. Глава 7 (знак + ) или назад(знак — ); йега1!опз = <!п1еяег> 1]1!е = <з11!пя> — выводит заголовок графика; )!ш!!гапке = 1гце Пример: > Р1)Ер!о1!]1,2*х,у],]х,у,п] ]0,я,1+а"2],я= — 2..2,пцвспаг=20); Функция 4иеЫр!ое Функция оце!ор!о1 предназначена для построение поля решения системы дифференциальных уравнений, пшпя1ера = !<!п1еяег>, <!пгеяег>] 15 10 и5 О -5 — список показывает, что интегрирование ведется в двух направлениях.

Первое число — шаги назад, второе — вперед; — число шагов интегрирования между двумя соседними построенными точками. По умолчанию этот аргумент равен единице; — остановить интегрирование, если результат вышел за область определения для х и у. Решение дифференциальных уравнений с визуализацией рез льтатов 53 Формат вызова: ф~еыр!о1 (йфед, гага 1гаоее, <ор11от>) Параметры; ййес) — уравнение или система дифференциальных уравнений; чагз — имена переменных; 1гапяе — область изменения независимой переменной; <орпопз> — аналогичны аргументам для функции Г)ер(о1. Первый аргумент должен содержать систему из одного или двух дифференциальных уравнений и может быть записан в одной из двух эквивалентных форм: ЙТГ(у(1)л) = Г(1,у) ЙТГ(у(1),1) — Г(1,у) = 0 или для системы из двух дифференциальных уравнений: [ЙГГ(х(1),1) = П (1,х,у), ЙГТ(у(1),1) = Щ,х,у)] [с((ГГ(х(1)Л) — П(1,х,у) = О, бйТ(у(1),!) — (2(1,х,у) = О] [ЙГГ(х(1) 1) — Г1(1,х,у), ЙГТ(у(1),1) — Г2(1,х,у)] Нельзя употреблять имена констант; 1, х и у — имена, употребляемые для аргумента Й1Тес(, где1, х и у описаны во втором аргументе — чагз.

Второй аргумент. чагз, указывает имена переменных, используемых в дифференциальных уравнениях, причем следует отделять зависимые и независимые переменные, Для автономной системы имена переменных могут быть заданы в следующем виде: [х,у]. Если система не автономная, аргумент чагз должен быть записан следующим образом: [1,х,у] или [х(1),у(1)]. Третий аргумент, 1гапке, может быть записан двумя способами: а..Ь или 1 = а..Ь, где 1 — независимая переменная. Глава 7 54 Пример: > айе(ар!ог(у"2"а(п(х) (х,у), — 5..5,411)е='Яупипе(г(с 6е!тГ); Функция рттаееротета(т Функция р(тазерог(га(г — построение фазового портрета (интегральной кривой ) для системы дифференциальных уравнений. Формат вызова; р)тазерот!гатт(т(т))ет), тата ттапее, (пйа (орттоттз>) Для заданных одного или двух дифференциальных уравнений в виде х' = П(цх,у), у' = (2(цх,у) и для множества начальных условий рЬазерог!га(т строит интегральную кривую для данного уравнения согласно заданным начальным условиям.

Задание аргументов чагь и ггапяе аналогично функции дйе!др1он Параметры: Ы(ее( яагз тгапяе !Пйз <орт(опз> — уравнение или система из двух уравнений; — имена переменных; — область изменения независимой переменной; — начальные условия; — неоднократно описано выше, Решение ди еренциальных равнений с визуализацией результатов 55 Примеры. >рЬаверогзга[Г[[у,-х — уЦГ,х,у[,0..10,[[0,0,1Ц0,0,.5[[,всепе=[х,у[, пг!е= Эашред овс!!! аг[опв'); в1ерв!хе=.1, С) атреб озоИа![ог1з > рЬаверог!га[г[[у, — в!п(х)ЦЬх,у[,0..10,[[0,0,.5Ц0,0,1Ц0,0,1.8[,[0,— 2*Р[,1Ц0,2*Р[,.5[,[0, -2*Р[,2.Ц,[0,2*Р[, — 2.1Ц, веера[хе=.2,1!г!е='Репап1пш У[Ьгаг!опв'); Рег)с[н[н[у) Ч[Ьга[[опз 2 1 у0 -1 -2 ), Глава 8 56 В.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИЗ ТЕОРИИ ГРАФОВ С ВИЗУАЛИЗАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ Мар!е включает в свой состав библиотеку для работы с графами. Имя этой библиотеки песхчогкз. Подключается эта библиотека следующей командой: > и(е)з(пееиог(ся): Список функций данной библиотеки включает 75 команд и процедур, некоторые из них будут описаны далее. Граф в Мар!е представляется процедурой, которая имеет тип ОКАРН. Создается граф с помощью команды пеи( ); можно также использовать команды сотр(есе( ), сус(е( д резегееи( ).

Команда нею Формат команды пеж следующий: неи ~6~; 6:=лен( ); (О - имя графа) > пезт(с): Команда пеи создает пустой граф — граф,в котором нет ни ребер, ни узлов. Узлы графа можно просмотреть с помощью команды чегцсез; > тегг(сея(0); Ребра графа можно просмотреть с помощью команды ебйез: > едйея(С); () Решение задач из теории г а ов с визуализацией результатов 57 Формат команды ебяез имеет три вида: елее(6); еекез! Р, 6); елее(Р,6, Ь!!'); где Π— граф, Р— один из следующих вариантов: (и,ч) или (о,у). Команда первого вида возвращает в форме множества все имена ребер графа. Команда второго вида используется, когда надо просмотреть только определенные имена ребер, Если Р зто (и,у), то возвращаются имена всех ребер между и и у (вне зависимости от их направленности).

Если Р— зто (о„ч], то возвращаются имена ребер, направленые от и к ч (о — хвост, ч — голова). > пеи(1): Добавим в граф три вершины: > аййгеггех(1,2,3,!); 2, 3, 1 Добавим два направленных ребра 1 — 2 и 2-3: > а<Иерее(!1,2),!); аЫейяе((2,3),!); е! е2 > Йгаи(!); 3 Просмотрим все ребра; > едкая(!); (е1, е2) Глава 8 Просмотрим ребра, направленные от вершины 3 к вершине 2; > ейдез((3,2),1); А теперь просмотрим ребра, направленные от вершины 2 к вершине 3: > едйез(!2,3),!); Следующая команда просматривает все ребра между вершинами 2 и 3: > едйез(13,2),1,' ай'); (е2) Команда сотр1еге Союр1езе создает полный граф. В полном графе каждая вершина одной части графа соединена с каждой вершиной другой части графа.

Формат команды следующий: сотр!е ~ е (п); сотр!е! е 1т, п); сотр!е~е(т1,...,пй1; сотр!е~е1ше!1; где и. пз — число узлов в отдельной части; ш1, ... зпŠ— целое число, определяющее количество узлов в каждой части; чзе1 — множество имен узлов. Число аргументов определяет число частей графа. Решение задач из тео ин г афов с визуализацией езультатов 59 > я:мсовр1ете(4): дгазг(а); -4 ) я1:мсовр1еее(1,6): дгазг(я1); 2 4.— —...—..:=„Ь1 5 7' Команда регегееп Эта команда создает граф Петерсена.

> )кмрееегаеа( ): дгазг(Ь); -(а 4" $ 5'' Команда й аю Эта команда рисует граф. Формат команды: Йав(67; агав( Сопсептс(1.7, 6),' г(гаш(элеат(Е),6); где Π— имя графа; 1 — список вершин. Первый вариант команды рисует граф, в котором все вершины находятся на равном расстоянии друг от друга и соединены прямыми пиниями. Причем располагаются вершины на окружности. Глава 8 б0 Во втором случае вершины располагаются на концентрических окружностях. В третьем случае случае команды вершины графа располагаются на линии.

> Сяерегегяеп( ): агап(Сопсепгг(с()1,2,3,4,5)),С); —,7„ 8 - —. 2 '3 — -М 4= Р-. — '5 .-'10 > дгап(Хяпеаг((1,2,3)),сотар)еее(3,3)); --- 4 > 4газт(Сопсепсг(с((1,2,3,4,5Ц6,8,10,7,91),С); 10- . "' -3===л. -'-. 4 Команди епг(я Эта команда возвращает имена вершин ребра. Формат команды: елй ~ 6) — возвращает имена всех вершин графа й; елй: е, 62 — возвращает имена вершин ребра е. Решение задач из теории графов с визуализацией результатов 6! з везу(зг): ай$тегеех(а,Ь,с,д,зг); Добавим в граф два ребра; а — Ь (направленное) и с — Ь (ненаправленное). > аддедйе((а,Ь!,и): аддедяе((Ь,с),и): > епдв(ю); ((с,о), (а, о)) > едяея(и); (2, 1) > Ь( ),и); Результат последней команды показывает, что ребро е( — это направленное ребро а-Ь.

Первый элемент списка — хвост ребра, второй элемент— голова ребра. В Мар!е существует правило обозначения ребер графа; ненаправленное ребро обозначается в виде множества, а направленное — в виде списка (первый элемент списка — хвост ребра, второй элемент — голова). Команда аддгеггех Эта команда добавляет вершину или множество вершин в граф.

Формат команды: аАЬеп ел (я1, 61; агЫгег~ех(г1, г2. 61; айЬег~ех1'ю1,яефйгз=ш,6)г аде(чет ыр ех ([г1, «23, не!КЫз =/и1, м23, 6); 62 Глава 8 где ч 1, ч2 — имена вершин графа О; ю — вес вершины (по умолчанию 0). ) вен()): аеЫчеггех((а1,а2,а3,а4),1)! Команда аИефе Эта команда добавляет в граф новое ребро. Формат команды: асЫедяе((ч!,ч2),О); аеЫейуе(~ч!,ч2),О); а<Ыед,е((ч),ч2),паглез=еда!,ае!д)з!а=чч,О); асЫес!че(Сус!е(ч!,...,чп),О); а<Ыес)ое(Ра!!з(ч!,...,чп),О); где > пеи(С): аддчеггех((1,2,3,4),С): асЫейКе(Сус!е(1,2,3,4),С): йгаи(С)! 2 3.: =1 Если иа,ю добавить несколько ребер, то оии должны быть переданы в команду асЫейде в форме списка или множества. В случае списка ребрам можно присвоить имена и веса, которые также должны быть представлены в форме списка. ч1, ч2 еда! Ра!!з Сус!е — имена вершин графа О; — имя, присваемое ребру (по умолчанию е1, е2 и т.д.); — вес ребра (по умолчанию 1); — определение пути через ребра ч!, ...,чп; — определение петли через ребра ч1,...,чп; Решение задач из теории гра ов с визуализацией результатов 63 > пеп(я)с > асЫчеггех((а,Ь,с),я): > асЫес(яе(((а,Ь),(а,с)),папзеа=(нау1,пау2), зче)йЬГя=(2,6!,й); зоау1, зеау2 Команда ссесесе Эта команда позволяет удалять из графа ребра и вершины.