Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V (Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V.djvu), страница 5

Если это необходимо, то среда даст приближенное численное решение. Ко всему прочему, существует возможность использования преобразования Лапласа, численных методов Рунге — Купа 2, 3, 4, 5 и лаже 7 и 8-го порядка. Особо следует подчеркнуть возможность решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Например, возьмем простейшее дифференциальное уравнение > '=у: > йяо!че(й!й(у(х),х) — у(х)=О,у(х)); у(х)= е С1 В ответе присутствует С1 — произвольная константа, так как начальные условия не заланы. Если задать начальные условия, например у(2)=5, то > ояо)че((о(й(у(х),х) — у(х)=0, у(2)=5), у(х)); е у(к) = 5— е Возьмем пример с дифференциальным уравнением второго порядка: > ово1че(о(ц(у(х),х52) — у(х) = 1, у(х)); у(к)=-1+е С!+ С2е к (-к) Попросим Мар1е лля уравнения 1" ь5гъоу=О с начальными условиями у(О)=О, уЗО)=1 применить метод, основанный на преобразовании Лапла- Решение линейных и нелинейных алгебраических уравнений и систем 4! са, т.е. включим в команду условие в виде дополнительного указания тейоЫ=!ар!асе: > ОЕ1:= Йй(у(1)052) + 5*йр!(у(С),1) + 6*у(1) = О, > йяо1те((йе1, у(0)=0, 1)(у)(0)=1), у(1),шегйой=!ар!асе); (-3 х) (-2 !) Решим систему: у'=;, г'=у с начальными условиями у(0)=0, г(0)=! относительно у(х) и х(х): > яуя:= ОИТ(у(х),х)=г(х), ЙЩх(х),х)=у(х): (спя:= (у(х), г(х)); )сна = (у(х), х(х)) > йяо!те((яуя,у(0)=О,х(0)=1), Тспя); у(х) = — е — — е, е(х) = — е + — е 1 х 1 (-х) 1 х 1 (-х)) 2 2 ' 2 2 К той же системе применим метод приближения функций рядами (зепез); > ово1те((яуя,у(0)=О,я(0)=1), Тспв, туре=яепев); х(х)=1+ — х + — х +О~х ),у(х)=х+ — х + — х +О(х )а 1 2 1 4 / 6' 1 3 1 5 / бй) 24 ' 6 120 Очень изяшен метод численного интегрирования.

Например, для той же системы яти > Е:= аяо!те((вуя,у(0)=О,х(0)=1), Тспя„гуре=пзппет(с): Теперь можно найти значения решения в конкретных точках; 42 Глава 6 > Р(о); '(х = О, у(х) = 2890728569016066 10 , х(х) = .999999881386018 ! > р(!); [х = 1, у(х) = 1 175201093665006, х(х ) = 1. 543080478651408] 6.3. Рекуррентные выражения Для рекуррентных выражений используется команда гао!че. > гво!че(!(и) = — 3*г(п — 1) — 2*1(п — 2), г(Ь)); (2 йО)+Е(1)) (-1) + (-йО) — 1(1)) (-2) > гяо1че(Г(п) = 3*$(пг2) + 5*п, 1(п)); Ь(3) Ь(3) ( ~~+1 > гво!че(г(Ь*п) = а*С(п) + и, г(го)); Ж 1п(Ь) 1п(Ь) Ь(-Ь+а) -Ь+а Решение дифференциальных уравнений с визуализацией рез»льтатов 43 7. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВИЗУАЛИЗАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ > кЩРЕ1оо!зр В состав библиотеки РЕгоо!з входят следующие семь функций: построение решений дифференциальных уравнений и систем; построение решения уравнения первого порядка; построение решения системы из двух уравнений; подстановка новых переменных в уравнение; построение решения квазилинейного уравнения пер- вого порядка в частных производных; построение поля решения; построение фазового портрета.

Рер1о! Рер!оз! Рер1ог2 Рс!запяетаг РРЕр!о! дйе!бр!о! р!»азерот!тай Функция Рер!ог Формат вызова; 0Ер!о(здфеу, тат», згипле, ьпйз, <орпопв>з 0Ер!омй/~ед, хат», ггапяе, хгапхе, уганде, <орз1опз>) Параметры: ойрее! - система дифференциальных уравнений; хагз — имена переменных: !гапке — область определения независимых переменных; 1п!зз — начальные условия; хгапяе — область построения первой независимой переменной: Графическая библиотека РЕгоо!з содержит средства для построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторых типов уравнений в частных производных, включая поля решений и фазовый портрет. Данная библиотека также содержит средства визуализации решений.

Подключение библиотеки происходит после выполнения команды: Глава 7 44 угапае — область построения второй независимой переменной; ор!!опз - опции. Параметр глйз — множество начальных условий, задаваемых в одной из двух форм: ([!О,хО,уО], [!1,х 1,у!], [!2,х2,у2], ...] или [[х(10)=хО, у(!0)=уО], [х(г1)=х1, у(!1)=у!], [х(!2)=х2, у(!2)=у2], ...) . В случае, когда имеет место система из и уравнений [!О,хО,х'О,х"О,...х(п)0], неопределенные начальные условия считаются нулевыми.

Например, если заданы начальные условия для системы из четырех уравнений в виде [1,2], то будет использовано значение [1,2,0,0]. Опишем подробнее параметр <ор!!опз> (перечисленные ниже параметры употребимы для следующих функций из библиотеки; РЕр!о1, РЕр!ог1, РЕр]о!2) . Все параметры раздела <ор!!опз> указываются в следующем виде: параметр=значение. Например, области изменения переменных х = с1.л)1 или у = с2 .Й2 мермге = Ь Значение з!ерз!хе используется для задания шага в выбранном методе решения поставленной задачи.

По умолчанию используется а!ерз!хе = (Ь- а)/20, где а..Ь вЂ” область определения независимой переменной ( т. е. параметр !галле ). Иегшюлз = <!и!едет> Число шагов итерации между двумя точками. По умолчанию используется йегайопз равно 1. Эта опция может быть полезной для решения неустойчивых задач. Йтйгалуе = ггце Прекратить интегрирование, если интегральные кривые выходят за пределы указанного промежутка для х и у. По умолчанию используется 1!ш!!гапке = (а1зе. Если не заданы промежутки для х или у, то этот параметр игнорируется. Решение дифференциальных уравнений с визуализацией рез льтатов 45 эсене = [<паше>, <паше>.<паше>] Указывает вид построения. Например, ясене = [х,у) показывает, что будет построен двухмерный график у как функции от х.

Если добавить переменную !. то зсепе = [(,х,у) укажет среде Мар)е построить трехмерное изображение всех переменных. Параметр также можно использовать для изменения положения осей ( например [х,у,!) показывает, что ! — вертикальная ось ). гнеглоН = <зсйете> Определяет метод решения поставленной задачи. Параметр <зсЬегпе> может быть: 'еи)ег', 'Ьасйеи!ег', Ъиреи(ег' или 'гй4'. По умолчанию используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка. 'еи!ег' — метод Эйлера ( формула метода; у = у + Ь "Г(цу) ); 'Ьас!еец!ег' — формула метода у = у + Ь'Г(!+Ь,у+ЬьГ(г,у)); йгпрец1ег' — усовершенствованный метод Эйлера ( формула метода: у = у + Ьг2в(Г(цу) + Г(!+Ь,у+Ь'Г(цу))) ); 'гк4' — метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Можно также написать свою собственную процедуру, реализующую метод, о~личный от перечисленных выше.

Для этого нужно указать, что процедура будет являться парамезром: те!Ьое! = Му 1пгедгайоп Бсйеше где Му !пгеяга!!оп Бсйете — имя этой процедуры. Для примера можно рассмотреть процедуру 'г)е4', реализующую метод Рунге-Кутта. Для этого следует выполнить такие команды; геле(1!Ь('ВЕ!оо!з/РЕр!об): !пзсгГасе(тегЪозергос=2): рг!и!('ВЕ!оо!з/ОЕр!о!/гк4'); Для заданной системы дифференциальных уравнений первого порядка вида х' = Г1(цх,у), у' = Г2(г,х,у), а также для дифференциальных уравнений более высокого порядка вида ЖГГ(у(х),хЗп) = Г(х,у) и множества начальных условий функция ВЕр)о! строит кривую решения.

Решение дифференциальных уравнений с визуаднзацией результатов 47 > я:=4*в(!Щу(х),х52)+0.8*в(!й(у(х),х)+2*у(х)=я!п(100*к): > ОЕр!ос(я,[х,у),0..50,((0,0,0)),зверя!геец2); 00 т Функция Рерсов1 Формат вызова: РЕр)о!1!вслед, тата вгипяе, впвва <орввопз>1 ВЕр1ов1(Щед, ката тгатвее, хтипее, утипее, ~орввопз>) Указанные в формате вылова параметры аналогичны описанным параметрам функции ЕВЕр!ов. Функция РЕр!ос! строит график решения для заданного дифференциального уравнения первого порядка вида у' = в(с,у) функция. Првьиеры: > 1)Ер!ос1(в)!Щу(с),с)=я!п(с — у), у(с), с= — Рв..Р1, у= — Рв..Р!); 48 Глава 7 > РЕр!о!1(гйп(! — у), [с,у[, (= Р!..Рз, [[О,З[,[0,2[,[О,Ц,[0,0[,[0, — 2[,[0, — Ц,[0, — 0,5[,[0, — 2.5[,[0, — 3[), у= — Р!..Р!); Фуикиггя ГЗЕр!оГ2 Формат вызова: 27ЕГг/огргг7г(тег7, сигея ггаггее, ииуя <орггоггз>7 0Ер(о~2/г(Грег), 1агк ггаи8е, хгапде, угап8е, <орг(оиз>) Укаэанные в формате вызова параметры аналогичны описанным параметрам функции РЕр!оп РЕр!о!2 строит кривую решения для двух заданных уравнений в виде х' = Г1(цх,у), у' = Г2(цх,у) и лля множества начальных условий.

Пример > РЕр!о!2([у, — а!п(х) — у/10[,[х,у[, — 10..10,[[0,1,1[[,со!ог = х"2+у"2); Решение диффе еициальиых у авиеиий с визуализацией результатов 49 Функция Рейандечаг Параметры: ецпз — множество уравнений для подстановки в одно уравнение; — дифференциальное уравнение; — необязательное множество констант в уравнении. йфей <сопл санга> Для заданного уравнения и-го порядка и множества из выражений Рсйапдечаг делает подстановку этого множества в исходное уравнение с вычислением требуемых дифференциалов. Первый аргумент, еуи — множество выражений, содержащее новые значения переменных. Второй аргумент, д(()ед — уравнение, в котором требуется провести подстановку.

Оно может быть следующего вида: дйр(у(1)й) = Г(цу) или б11Т(у(т),г) — Г(цу) = О, Примеры > )успапйечаг((з = Т*гап,х(1) = Ь*у(гап)),а)Щх(г),г$3) = гап(г),(Т,Ь)); 3 "( ) (Т) Функция Юс)запяечаг — переход к другим переменным в дифференциальном уравнении. Формат вызова: Рсйапяечиг(еана йод, <голл!алы>) Глава 7 > а:= а(11(х(1),1$2)= — й+ЙУип*(вйг1(тО'2 -2*й*х(1)) -ОЩх(1),1))"2 У вцг1(тО"2 — 2*я*я(1)); д а — — — х(1) = -я+ д12 > ейпа нв (х(1)=з.*у(1аи),1=Т*1ап); едле — — (х(1) = Л у(х),1= Тх) > спаппз па Л;Г)' слезите:= (Т. Е) > Рсйапйеуаг(ейпа,а,спзеп1а); — 2у(т) Л у02 2аЕу(,) д' = -я+ Т2 тп в0 — 2 я Е у(т) Функция РЕзЕр(оп РРер!о1 (рйЯед, гаьх 1лйа егиляе, <ор11олз>) Параметры: ро1йей чагз 1п1Ь агап хе <орйопз> — квазилинейное уравнение в частных производных первого рода, записанное в определенных терминах; — имена переменных; — начальные данные; — область параметра для начального данного; — необязательный аргумент, описываемый ниже; Решение диф еренциальных уравнений с визуализацией результатов 51 Нахождение решения уравнения вида Р(х,у,ц) " Р[1](ц)(х,у) + Я(х,у,ц) " Р[2](ц)(х,у) = К(х,у ц), где Р,Я и К зависятот х, у и ц.

Второй аргумент, >агз, может быль задан только в следующем виде: [х,у,ц] или ц(х,у). Это означает, что х и у — имена независимых переменных, а ц — имя зависимой переменной. Третий аргумент, ш/м, должен быть списком, состоящим из трех элементов, которые определяют параметрическую форму трехмерной кривой в декартовых координатах. Элементы списка могут быть или выражениями, или функциями; если выражения, то они должны содержать одно символьное имя ( параметр ), а если функции — то только от одного переменного.

Четвертый аргумент, зганяе, должен быть областью изменения параметра начального условия, Указывается в виде з = а..Ь, или просто а..Ь. Пятый аргумент необязательный, он может состоять из следующих параметров. — области изменения аргументов х и у; х = с!..д! у = с2..62 — шаг, используемый в данном методе интегрирования.