Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 5

Заметим, что а„Яе;+ аолго'= — Я~' (а+его '+а е'"') ! где аь = а„~ са„, поэтому уравнение Шредингера принимает вид — —; д~ = р ( ЖРс+ ~ ЯЕ' (Е-С"'О+ + Е' 'а ) ~ чр. (138.2) получаем й — —. (ии + а()) = РЯс о (иа — о))) + )ьЯ' (е си'гчг + е'"и()). Собирая теперь коэффициенты при а и () и вводя обозначения Нас о = соо — =- со иЯе Й (138.4) Решение этого уравнения можно выразить через собственные функции оператора а,; ф(с) =и(()а+о(г) р.

(138.3) Подставляя выражение (138.3) в уравнение (138.2) и пользуясь соотношениями !см. формулы (129.10)1 а,се=со, а+а=О, а а=2р, а,))= — (), а,))=2а, а Р=О, С88. Гниновнб реэонанс для свободного электрона приходим к системе уравнений (ц = со ц + со е сонэ соо" +со е (138.6) Решение этой системы имеет вид ц Ае-ссв+'с нсс о Ве-сся-'сею с (138.6) Непосредственный подсчет показывает, что возможны два случая: ис — +и н и,= — а, где 51 = )сс (ос,— ! ос) +о»". (138.7) Потребуем теперь, чтобы решение (138.8) удовлетворило начальному условию ср(0) =а, нли А,+А,=1, В,+В,=О, (138. 10) Это требование с учетом соотношений (138.9) дает ! сн см ого 2 — с эр (!) = совЫ вЂ” с в!пЫ)' е а — — с в!пЫе )).

(138.11) Отсюда для вероятности обнаружения электрона с противопо- ложным направлением спина в момент времени ! получаем фор- мулу Р=( — ) в!п'Ы, 52 / (138.12) которая после усреднения по времени дает а со' Р= — — =— 2мэ 2 ( соо ос) +ос 2 (138. 13) эо с!7э Соответствующие этим случаям амплитуды обозначаются ниже посредством А„В, и А,, В,.

Окончательный результат записывается в виде йо со — с ср (5) = (А,е-'о'+ А,е'о') е а+ (В,е-'о'+В,е'"') е (), (138.8) причем 2 ) В...=А„, (138.9) 34 т'т'С Частицы со спинолс Б. Двух- и трвхчастичныв задачи Если производить медленное изменение однородного поля тб„ а тем самым, согласно (138.4), и ларморовой частоты шв, то для значения — т. е. Яб,=— 1 аы 0 о ' ' 0 (138.14) средняя вероятность обнаружения электрона с противоположным направлением спина (спин-флипа) станет максимальной.

Мы на- зовем такое поле резонансным и обозначим его посредством Яр„, тогда Р =— (138.15) 'х (Я вЂ” Яо э.*)'+ ЯГ' При резонансе Р=х), независимо от напряженности вращающегося поля Яб", однако ширина резонансной области, разумеется, определяется величиной ЯР'. Замечание. этот метод можно применять либо для определения иеличины и по напряженности резонансного поля, либо, если величина р достаточно хорошо известна, для определения разности между внешним полем и полем, действующим на электрон внутри молекулы.

Для распознавания молекулярных структур похожим образом можно использовать и протонный резонанс. Б. Двух- и трехчастичиые задачи Задача 139. Спиновые функции двух частиц Имеется система из двух частиц со спином х!, (например, нейтрон и протон). Найти спиновые функции системы, диагонализующие одновременно г-компоненту и квадрат оператора суммарного спина В= ~ М„+ он). й (139.1) Решение. Пусть а„, р„ — гильбертовы базисные векторы нейтрона, а сэр, ()р †базисн векторы протона.

Тогда спиновая функция )( двухчастичной системы должна иметь внд т, = Аа„сэр+ Ви„0р+ С(),сер+ ср()„()р. (139.2) Из определения спиновых операторов (см. задачу 129) следует 2 — Ввт = (о„+ о ) )(= Асх„гхр+Вач()р — С!вар — 0()„()р+ + Аа„ар Вссчйр+Срчсср хррчрр (!39 3) Таким образом, каждый отдельный член в выражении (!39.2) является собственной функцией оператора В,: 36 ПУ. »»истицы го »пином. Б. Двух- и трехчастичпые задачи Зго дает два линейных уравнения для определения В и С: В+С=ИВ, В+С=)(С. Десерминасст этой системы должен обратиться в нуль: 1 — Х 1 ~=-0, илн 1 — )ь= ~1. Таким образом, для двух собственных функций оператора 5', принадлежащих собственному значению 5,=0, получаем для ) =2 В=С, )(=а„)3 +й„ар, 5=1; (139.6а) для ).=0 В= — С, )(=а„()р — ~„ар, 5=0. (139.6б) Окончательные результаты собраны в приводимой ниже таблице, причем собственные функции нормированы с учетом ус- ловий <а)а>=1, <(3(~>=1, <а(й>=0.

Триплет, 3= ! (симмет. ричная спиноваи функция) Б»=+! 8 =о Я»= — ! а,ар ! =- (апс:р-р ()пар) Р 2 ()п))р цинглет, 5=0 (антисим- метричная спиновая функция) —.— (апрр-р ар) 2 Замечание. Из равенства (о„+ ар)з = 6+ 2 (а„о,) след)ет, что триплетиые и синглетная спиновые функции, Хс и Х», приведенные в таблице, являются также собственными функциями оператора (н„ар), аричем (" пр) хс = хс (ап' ор) Х» 3 ('» Эти результаты будут полезны в следующей задаче. Задача ИО. Центральное взаимодействие между нуклонами, зависящее от спина С разумной степенью точности взаимодействие нейтрона и протона в 5-состоянии можно описать с помощью центральных сил, имеющих различную величину для симметричного и анти- симметричного спиновых состояний. Выразить указанное взаимо- Ид.

е1ентроеьное оеаимодеаеомие мемду нунлонамы зт действие через зависящий от спина потенциал, используя для этого а) обменный спиновый оператор Х„р, б) операторы спина пл и и нейтройа и протона. Решение. Центральное взаимодействие означает, что энергия взаимодействия зависит только от расстояния е между двумя частицами. Эта энергия должна быть различной в состояниях разной спиновой симметрией, например У, (р) в триплетном состоянии, когда спины параллельны, и У,(г) в синглетном состоянии, когда спины антипараллельны.

а. Пусть Х(ел, зр) — двухчастичная функция. Определим обменный спиновый ойератор с помощью равенства Х.,Х(з., з,) =Х(з,. зл). (140. 1) Для симметричного триплетного состояния Хе (зл~ зр) Х! (зр~ зл)~ поэтому (140.2а) ~ори ХС' С другой стороны, для антисимметричного синглетного состояния Хе (зл зр) Х (зр зл) и, следовательно, ~лрХе Ке. (140. 26) Таким образом, оба типа функций являются собственными функциями обменного оператора н принадлежат соответственно собственным значениям +1 и — 1. Так как три триплетные и одна синглетная функции образуют полный набор, то равенства (140.2а) и (140.2б) определяют обменныя оператор полностью и притом единственным образом.

Если теперь определить энергию взаимодействия выражением вида У=У,(е)+У,(г) Х„р, то, согласно (140.2а) и (140.2б), должны выполняться равенства УХ = (У + У.) Х УХ =- (У вЂ” Уе) Х. поэтому, выражения У,=У,+У, и У,=У,— )', буду~ описывать энергию взаимодействия соответственно в триплетном и синглетном состояниях. Отсюда следует У= —,(У,+Уе)+-, (У,— У,) Х„р. (140.3) Зв 1В. Частицы со саином. Б. Двух- и трехчастичиьи задачи б. В конце предыдущей задачи мы показали, что спиновые функции )1, и )(в являются собственными функциями оператора (о„пр), причем (пл ар) )1, = )(о (п„пр) )(, = — 3)(,.

(140. 4) Отсюда следует, что оператор Х„р линейным образом выражается через оператор (п„пр). В самом деле, положив Х„р — — — (! + (п„пр)), мы убеждаемся, что такой выбор обеспечивает выполнение равенств (140.2а) и (140.2б). Поскольку, далее, не существует других спиновых функций двухнуклонной системы, то оба оператора полностью определяются равенствами (140.2а), (140.2б) и (140.4), позтому соотношение (140.5) обладает всей вочможной степенью общности. Исключая с помощью (140.5) оператор Е„г из равенства (! 40.3), окончательно получаем 1 (31 с+(~в) + (1 е 1 в) (и» Ор) ! ! Задача 141. Степени спииовых операторов Показать, что оператор (и, и,)", где о, и и, — спиновые операторы частицы 1 и частицы 2, выражается линейно через оператор (а, пч). Гешеиие.

Оператор (и, и,) полностью описывается равенствами (и, . и,) )(, = )(„(и, и,) )(, = — З)(„(141.! ) демонстрирующими его действие на три триплетные и одну синглетную функции, поскольку они образуют полный ортонормированный набор функций. Таким образом, нам достаточно рассмотреть действие оператора (п,.пч)л на функции указанного полного набора. Повторное применение оператора (и, и,) к обеим частям равенств (141.1) немедленно дает (п,.п„)")(,=д,, (и, пч)")(,=( — 3)" у,. (14!.2) Отсюда следует, что оператор (и, и,)" линейно выражается через оператор (и, пч): (и, и,)" = А + В (и, и,). (!4 !.3) Подставляя выражение (141.3) в равенства (141.2) и.

учитывая (141.1), находим (А ! В) уе ух (А ЗВ) у ( 3)л)( 142, Собственные функции оператора полного момента двух частиц 39 Отсюда следует А+В=1, А — ЗВ=( — 3)", или А = — (3+ ( — 3)"), В 4- ~1 — ( — 3) "~. (141.4) Таким образом, мы, например, имеем (а, а,)'=3 — 2(а, а,), (а, а,)'= — 6+7 (а, а,). Замечание. Представление энергии взаимодействия, зависящего от спина, в виде (140.6) в предыдущей задаче лействнтельно является единственным, так как замена выражения (140.6) рядом по степеням (а„пр) не может изменить окончательного результата.

Решение задачи выглядело бй еще проще, если бы мы рассматривали ряд по степеням обменного оператора Езе. Задача !42. Собственные функции оператора полного момента двух частиц, обладающих спинам Рещение. Любую функцию триплетного состояния, разумеется, можно записать в виде О зР= ~ (~з (г) )г~ Дыз+дз(г) Уьыйт,ь+(тт (г) )гттьДт,-т).

(142.1) В этом выражении каждая из трех возможных спиновых функций умножается на функцию пространственных координат, формально записанную в виде разложения по сферическим гармоникам. Вторые индексы сферических гармоник )' выбраны таким образом, чтобы имело место равенство в',зр = тзр, (142.2) т. е. чтобы функция ф была собственной функцией оператора и',. Рассмотрим теперь действие оператора .гз=(Е+ — (а,+ а)) =.4з+д-.(а,+а)+ 4 16+2(а,.а)1 1 1з ° 1 на функцию (142.1). С этой целью удобно ввести операторы а+ — — а„+та„и а = а„— за„, (142.3) аналогичные (см.