Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 4

С другой стороны, для среднего значения 5, и нормировочного интеграла мы соответственно имеем <5г> = 2 ~г 21 1 (Аг, с — Вг г) с(г (135.4) ч 2! 1 (Ас, г+ Вг, г) г(г = )! гг(Гг (г)(*г(г = 1. (135.5) г о Отсюда следует й А,'. — В,*, 2 Ае Ве с.с ! г,г (135.6) Таким образом, в выражениях (135.1), которые используются для вычисления средних значений 5 н 5„, отдельные члены будут содержать произведения различных сферических функций, поэтому 26 /П, Частицы со саином. А.

Иночостичлыс эадачи В состояниях с 1=1+'!', имеем <5 > =айги — =Ьл, —, ! ! 72!+! г 2! (135.7а) Средние значения проекций орбитального момента можно получить аналогичным образом, рассматривая выражение и! х.и = и,'5и, + и,'Ьи,. Так как операторы (.„~ с(ъ изменяют второй индекс сферической функции на ~1, то средние значения 1„и )о снова обращаются в нуль (см. задачу 58), а для среднего значения Л, имеем ) ~ и, ( тт — — ) и, + ич (тГ+ — ) и, ~ Очх <7.,> = $ 1 * * ( и~и, +ичич) ачх или А), ю (л!у — — )+В) ! (ту+ 2 ) Ача с+ В~у, ! Если воспользоваться формулой (135.6), то последнему результату можно придать более простой вид: с)-с> ~л'Г <~с>' (135.8) Эту формулу мы могли бы получить сразу, если бы учли, что и есть собственный спинор оператора 1,=1,,+5„принадлежащий собственному значению Йтл Средние значения /„и lо также равны нулю, поскольку равны нулю средние значения соответствующих проекций векторов х.

и о. Оператор магнитного момента имеет вид М= — 2 ((. +23), (135.9) где †е †электриче заряд электрона. Средние значения проекций магнитного момента на оси к и у обращаются в нуль, однако (135.10) если же 1=1 — '/„то <Ях> = — Ьт! 2! ! — — — Ьтг 2 .. (135.7б) !аб. Тонкая сшруктура что с учетом формулы (135.8) можно записать в виде 2шс ( Отсюда, принимая во внимание соотношения (135.7а) и (135.76), находим, что в состояниях с 1=!+",, е$ г' ! Х ев 21+! <М > = — — лг(( 1+ —.) = — — лг —.

+ 2шс т(, 21) 2ии У 2( (135.11а) а в состояниях с 1=1 — '(, ей у ! '! е$2/+1 <М,> = — — лт(( 1 — —.) = — — т1 ..з. (135.11б) 2шс ((, 2(!+!)) 2 м 2!+з' Замечание. Прнведенные формулы показывают, что в замкнутой подоболочке (л, 1) результнруюшвй магнитный момент равен нулю как з случае 1=1+'(,, так н в случае 1=1 — з(з. Множитель, стоящий в формулах (135.11а) и (!35.11б) при величине — (ей(2тс) т,, называется у-фактором Ланде рассматриваемого состояния. Он позволяет записать величину <М,> в виде ей .

е <Ма> 2шс ~(а(!) 2 <~а>а(1)' Задача !36. Тонкая структура Взаимодействие собственного магнитного момента электрона, е )ь= — д — 8, (136.1) с его орбитальным моментом Е описывается членол! в гамильтоннане вида Н = —,„—,— „, (3 Т). у ! бр(г) (136.2) Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление энергетических уровней. Замечание. Так называемый д-фактор электрона очень блнзок к единице. Как было установлено, его точное значение равно 1,00!!40. Так как полную теоРию тонкой структуры нельзя построить, оставаясь в рамках нерелятнвнстской квантовой механики, то к введенному выше у-фактору не следует относиться слишком серьезно.

Это же замечание в полной мере относится н к мно. Отсюда видно, что д-фактор Ланде описывает отклонение от классического соотношения Максвелла между магнитным и механическим моментами частицы, обусловленное наличием у частицы спина. 28 П1. Частицы со саином. А. Одночастичные задачи жителю 2 в знаменателе выражения ((36.2) (так называемая поправка Томаса и), его появление нсвозможно объяснить а рамках нерелятивнстской теории. Решение. Волновая функция электрона в центральном поле есть одновременно собственная функция операторов )з и е'„ее угловая зависимость была установлена в одной из предыдущих задач, поэтому фигурирующий в гамильтониане (136.2) оператор ($.

1,) можно исключить, имея в виду, что для состояния тр = ~ !', 1> справедливо соотношение Р ~ !', !> = (1.*+ У + 2 Ф ..(.)) О, !>, или Й' ( ! (! + 1) — [! (! + 1) + — ~ ~ ! 1, 1> = 2 (6 о) ! 1, 1>. Таким образом, наличие в гамильтониане члена-(136.2) в конечном счете добавляет к потенциальной энергии )г(г) энергию возмущения вида )г (г) = 4 е з — д (! (1+ 1) — 1(1+!) 4 ~ ' (!36 3) Эта энергия зависит от квантовых чисел ! и 1, и поэтому при одном и том же значении 1 она будет различной для разных значений 1=1~'1,. В первом порядке теории возмущений поправка к уровню энергии определяется формулой " Е; з = (1, ! ) р') !., !>, (!36.4) Пользуясь теми же обозначениями, что и в выражениях (133.! !) и (133.12) и принимая во внимание условие нормировки, 1г !Р,(г) Гь =1, (!36.5) получаем Е1 г — — 4, (1(!+ 1) — !(!+ 1) — 4 ! 3 г /Рг(г) /' г 1 г(г.

(!36.6) о Таким образом, расщепление уровней с одним и тем же значением 1, но различными значениями / оказывается пропорциональным разности и Обычно ее называют поправкой Томаса — Френкеля.— Прим. ред. и Матрица энергии возмущения (!36,3) диагональна по квантовому числу т1, поэтому можно обойтись формулами теории возмущения без вырождения.— Прим. ред.

Гд7. Плоские еолнее для частиц со снинои л/е поэтому глЕ= 4 е, (2!+1)) г'~ге (г) (е — д с(г. (136.7) о Заметим, что подуровень с меньшим значением ! располагается снизу (нормальный дублет). Некоторое представление о величине интеграла (136.7) можно получить, взяв в качестве потенциала выражение Еее ! де' Еее р= — —, г ' г дс ы Так как вблизи ядра всякого атома потенциал ведет себя указанным образом и так как в этой области г' Н, ! Задача 137.

Плоские волны для частиц со спином 'у, Разложить плоскую волну, описывающую свободную частицу со спином '/, в ряд по сферическим гармоникам. Рассмотреть случаи положительной и отрицательной спиральности Считать, что волна распространяется в положительном направлении оси г.

Решение.' Плоским волнам, распространяющимся в положительном направлении оси г, отвечают два спннора !р+ —— ( )е'ы н ф =( )ее"'. (!37. !) то подынтегральное выражение в (136.7) пропорционально гм ' и, следовательно, интеграл конечен при 1=-1, 2, 3, ... и логарифмически расходится для Я-состояний, когда 1=О.

Поскольку 5-состояния не расщепляются, а лишь сдвигаются, последний результат не имеет особого значения при анализе спектрокопических данных. В аккуратной релятивистской теории трудность вообще не возникает (см, задачу 203). И без детальных вычислений интегралов типа (136.7) можно с уверенностью сказать, что результат имеет величину порядка уеьае, где а — величина такого же порядка, что и радиус атома. Так как атомные термы имеют порядок Ле'(а, то, грубо говоря, ЬЕ ле Е' а'' где !ч = ФПпс — комптоновская длина волны. Она представляет собой малую величину, поэтому обсуждаемый эффект действи.тельно носит характер тонкой структуры, и для его рассмотрения можно ограничиться, как это и было сделано, первым порядком теории возмущений.

зо Ш. Частицсс со соилом. А. Одмочасспианссс садаки В состоянии фм спин частицы направлен по движению, и мы говорим о положи!вольной спаральности, 5 = +1. В состоянии ф спин направлен против движения, н 6= — 1. Если разложить рассматриваемые спиноры по собственным функциям полного момента количества движения, то в обоих случаях тс=О, а сп!=+'1, для состояния ф и т = — '1, для состояния ф В задаче 133 было показано, что прн данном значении орбитального квантового числа 1 имеется два рода обших собственных спиноров операторов 7, и Р, а именно с' 2+ с~1 2 ! — 1+ — гп! У 2 ! ьт+ ! 2 сс(с) ! 'гс2!+1 (137. 2а) если / = 1+ '1„и (137.26) ~;+ — Г,+~'й* —, ) Г,=О, 2, l 1(1+!)т с с~ (137.3) и для регулярного в нуле решения (нормировка произвольная) мы имеем выражение г', = —, 1', (йг).

! (137.4) Теперь разложение плоской волны по решениям (137.2а) и (137.2б) можно записать в следуюшем виде: (137.5) Мы начнем со случая положительной спиральности и=+1, когда т,=+'1,. Равенство (137.5) в этом случае принимает внд 1'(Л,Р'1+1+ВсУ1) Уьс если 1 — — 1 — '/„причем функция Р, (г) удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера. Для свободной частицы оно имеет вид И7. Плоские волин для носииц со олином П, 3! г 1+! (137,7) Таким образом, получаем ф+ — — др(0 ~ Х~'., Ас ~/ ~ ! /с(йг)У"ь о (137 8) ~=о Из сравнения последнего выражения с обычным разложением плоской волны (см.

формулу (81.13)], ом -ол'~ 4 (21-',-1)Рс(Ф)у, „ (137.9) с=о следует А,=- с 4 (!с1)е. (137. 10) поэтому окончательное выражение принимает вид О сР+ — — 1 4п ~(с(г'1+1 и. '1П+У(ис~,' б). (137.11) г=о В противоположном случае, когда й= — 1 и т~ — — — '7„равенство (137.5) записывается в виде /(А )с'1+ В, )сс1+ 1) Ус "с~=о )'Е1+! ' ~,( — Ас$'7+1+Вс 1 Уьв Теперь, согласно равенству (!37.1), должна обратиться в нуль первая компонента спинора, следовательно, (137.13) Далее из сравнения с разложением (137.9) вытекает А, = — )с 4п (1+ 1) с ', (137.14) поэтому окончательно мы приходим к разложению вида $ = — Рс4я Х!'()~Т+! и~ „— )с 1и~' б).

(137.15) !=о Чтобы вторая компонента спинора обратилась в нуль, как это требуется согласно равенству (137.1), мы должны положить зг Ш. Частицы со саином, А. Одночастичньи аодачи Задача 138. Спииовый резонанс для свободного электрона Свободный электрон помешен в полость, где имеется два магнитных поля: одно поле постоянное и однородное, зь„ направленное по осн г, другое поле, К', врашаюшееся в плоскости хуч Я о 0' ~с Я~о' (133 1 Я;= Я~'соз со(, .а,„'= Яо" з(пса(, ЯГ; = О. В момент времени ( =0 спин электрона направлен по оси г; в этот же момент включается поле зь'.

Найти вероятность Р обнаружения электрона, спин которого ориентирован против осн г, как функцию времени г'. Решение. Для нашей задачи гамнльтониан имеет вид И = )с (а,Я„+ а„уг '„+ а„Я~„), где — ра — оператор собственного магнитного момента электрона, а )с = ей!(2тс) (теоретико-полевые поправки не учитываются).