Fluegge-2 (Флюгге З. Задачи по квантовой механике), страница 3

А. Одночастичныс задачи Если рассматриваемое преобразование применить к произвольной двухкомпонентпой волновой функции (ичч ф=~ (=па+о(3, (132. 10) то в результате получится преобразованная функция (и'чч чр'='(н, ~=и'со+о'(), ( о',~ (132.10а) где и' = (1+ — а, ) и+ — (а, — й»,) о, о' = — (а, + йх,) и + ~ 1 — — а, ) о. (132.!1) Двухкомпонентная функция, обладающая такими трансформа- ционными свойствами, называется спинором, Задача 133. Электрон со спииом в центральном поле Решение.

Начнем с г-компоненты момента количества движения. Учитывая, что А д Ь г! 0~ можно написать (! 33.2) Собственные функции этого оператора имеют вид (133. 3) Найти волновые функции электрона со спином в поле не зависящих от спина центральных сил. Учесть, что волновые функции должны быть собственными функциями двух операторов З*=(С+я)ч у,=~,+З., (133.1) где а".

и Я вЂ” соответственно орбитальный и спиновый моменты электрона. ИЗ, Элвнврон со саином в Чвнтралоном нолв а в случае спина, направленного вниз, имеем 1 лгг — — т,— — . 2 ' Таким образом, т~ является полуцелым числом. Этот результат представляет собой хорошо известное из векторной модели правило сложения моментов. Характерная особенность волновой функции (133.3) или (133.3а) состоит в том, что т~ представляет собой „хорошее квантовое число", а число т, таковым не является, поскольку вектор ф есть смесь двух состояний, характеризующихся различными значениями квантового числа глр Перейдем теперь к оператору Р. Используя явный вид матриц Паули, входящих в оператор 5=($12) и, можно написать 3 1Св Р=Е'4-Яв+2(1.5) Ев+ — йв.4 й 4 Таким образом, мы должны решить следующую задачу на собственные значения: .Св — Ь-1- Ы рвр = Ы, Ы 3 $ й н ~1(1+ 1) ~Р' 4 г (133.5) причем выше по аналогии со случаем орбитального момента л".

где С, и С,— пока еще произвольные функции переменных г и Ь. В этом нетрудно убедиться, подействовав оператором л', на функцию вр. В результате получим л'ввР = ллп1ф, (133. 4) поэтому величина Ьт1 есть собственное значение оператора проекции полного момента в на ось г. Смысл волновой функции (133.3) станет более очевидным, если переписать ее в виде с ') ( ф=С,е ~ ' ~ а+Сне ~ ' ' ~ р. (133.3а) Мы видим, что первый член описывает зависимость функции ф от координат, если спин направлен вверх, а второй член описывает ту же зависимость, если спин направлен вниз. Этой координатной зависимостью определяется значение Ьт, проекции орбитального момента л.

на ось г, и оно должно быть таким, чтобы т, = О, н-1, ~2, ..., т. е. было целым числом. В случае спина, направленного вверх, мы получаем 1 ш! — — /л, +— 2О !!!. Частица со спинам. А. Одночаииичнас задачи (133.7а) (133.7б) (133.7В) (133.7г) 7 (г ) [ ! ( ! + 1 ) + + ( т ) / з — а(г) 1// (!+т + — ) (! — + 2) 'г' / 3 7() !/ ( / 2)( / 2) ~ '+ +д(г) [!(!+!)+ 4 — (т;+ — )~ !' / з Поэтому задача на собственные значения (133.5) сводится к двум линейным алгебраическим уравнениям относительно функций ! (г) и д (г): ( + )+ 4+( / 2) .!(!+ — и ~/ (! + —,) — т) = О, — 7 1// (!+ —,')з-т;+й [!(!+1)+ — ,'— — (,+ —,) — 1О )1 =6.

(133. 8) мы произвольно обозначили искомое собственное значение по- средством 7оз!(!+1). Чтобы сделать функцию ф общей собствен- ной функцией операторов /, и /з, мы должны придать ей форо~у выражения (133.3) и, кроме того, должным образом определить зависимость функций С, и С, от переменной б. Этого можно добиться, полагая, что ,/1(г)!', ° (б, ф)), ~ й (г) У, (4), ф) ~ ' / ч О)ерические гармоники в. выражении (133.6) зависят от ф как раз таким образом, как это требуется согласно равенству (133.3), При расчете выражения Рчр в соответствии с соотношениями (133.5) и (133.6) мы воспользуемся общими формулами (см.

задачу 56): Е„)', „= — /с)/ (!+т+ 1)(! — т) У, „„ ы',, = — Ы' о ч а! а — ч и у,, 7.,), .=Ьй,,„, 7.з)', =Ь((!+!) !', Окончательный результат имеет вид /оа. Элекпрон со саином в Чвн/нрольном лоле 21 ~!' (/ + 1) — ( ! + 2 ) ~ — т// — ~( ! + 2 ) — т// ) = О. (! 33. 10) Последнее соотношение, как очевидно, не зависит от квантового числа /и . Это является одним нз простейших следствий весьма общей теоремы Вигнера — Эккарта. Имеется два различных зна- чения числа 1, удовлетворяющих условию (133.!О). Решение 1 ! — 2 ,=!+-,.

В=-А~/ 1+ — +/а. / 1 !+ — +/и, У 2 ~и.-- / в 1 — 1+ — — )/ 2 / 2 р/ (/) )/'21+1 (133.11) Решение /! Г Г/+ —,+ / — — В= А ~// 2 ' 1+ — — /а/ 2 1 1+ — — /и )/ 2 / / е 1 !+ — +/и 2 / / /а../ / 2 Р/ 1/) ф!/ = (133.12) Ооа решения нормированы. Так как во всех компонентах волновой функции в качестве множителей фигурируют сферические гармоники одного и того же порядка 1, а потенциал предпола- Тот факт, что нам удалось исключить сферические гармоники, показывает, что выбор функции ф в виде (133.8) действительно позволяет решить поставленную задачу. Таким образом, и при наличии спина число ! все еще является „хорошим" квантовым числом.

Уравнения (! 33.8) совместны только в том случае, когда функции Г(г) и д(г) отличаются друг от друга лишь постоянным множителем. Поэтому мы положим ~ (г) =- АР (г), х/(г) = ВР (г), (133.9) а отношение В)А можно будет найти из уравнений (133.8). Тан как система линейных уравнений (133.8) однородна, ее определитель должен быть равен нулю: 22 //. Частицы со саином. А. Одночастичныв задачи гается не зависящим от спина, функцию Р, можно определить из радиального уравнения Шредингера — 2 т(Хг —,, Хг)+)«(«))(2=Едз (13313) где (133. 14) Хг = «тгз («). Замечание редактора перевода.

Формула (133.11) остается справедливой н в случае 1=0, так как при этом коэффициент, стоящий перед не имеющей смысла сферической гармоникой г'о ды тождественно равен нулю. Таким образом, в этом случае имеем = ) при 1=0 т =+— "в 1«1 /! Д 1 л,(«)/ой 1 — при 1=0, т.= — —. е 4тг Что же иасается второго решения, фп, то при 1=0 оно не существует, так как квантовое число 1 по определению положительно. Задача 134. Квадрупольный момент при наличии спина Вычислить квадрупольный момент одиозлектронного состояния в сферически симметричном потенциальном поле, приняв во внимание наличие спина. Решение, Квадрат модуля собственной функции (см.

равенства (133.11) и (133.12)! выражается формулой (134, 1а) если / = !+ '/„и формулой / г~ -',-(!в.—.~. ) У, ), (134.16) / 2 ~ если /=! — '/,. Напомним, что (т/~ (! и что при 1=О решение„ соответствующее функции фп, отсутствует. Так как выражения (134.!а) и (134,1б) не зависят от угла у, то здесь остаются в силе аргументы, приведенные в задаче 61, Ий. Квадруаолвний момент ари навивал енина поэтому средние значения недиагональных элементов тензора квадрупольного момента обращаются в нуль, а средние значения его диагональных элементов связаны соотношением <Я„> = <(!ГГ > = — 2 <(!йй>.

(134.2) й <гй> 21(1+ !) — 6(т — — ) 2/ а-о~и, з~ ~' ! й 21 (1+ !) — 6 ( т!+ — ) 1 + ( 2 !) (21 — !) (21-)-З) / ' Здесь верхний знак относится к случаю (=1+'1„а нижний— к случаю 1=1 — '!, н !) 1, и, кроме того, введено обозначение Ф ! гй)Рй(г) )йе(г=<г'>. й (134.

6) После элементарной перегруппировки членов в фигурных скобках полученное выражение приводится к виду (, )) !2 4 ! 21+! 21(1+ !) — 6(т)+ — 1! ~ — т) <1)йй> = <г'> (21 !) !21+6) * (134.6) удобному для сравнения с выражением (61.8). Последнюю формулу можно записать в более компактном виде, если заменить квантовое число ! числом 1: <(,) > = <г > — ~ ! —. зт'; йй '2 ! (!+!)! (134.7) Эта формула имеет место при любом выборе знака в выражении 1 = ! ~ '1,.

В нижеследующей таблице приведены числовые резуль- таты для нескольких первых значений квантового числа !. Таким образом, мы опять должны вычислить лишь одну величину <9„>, определяемую формулой Яйй > = ) ( ф !' г' (Зсозй б — 1) еРх. (134, 3) Подставляя сюда выражения (!34.1а) и (134.!б) и учитывая доказанное и задаче 61 соотношение получаем 24 (//. Частияи со сливом. А. Одвояасо»иявие задави счз»>(Х»'> иля Состаяяяя з я».= а —, ( з я».= / я».= и— ( 2 /я з/ 7/ 5»(, Р( Р»( />»( />, Р, Р» , О, + /ь +,'зь » ьз/ьн з Б +ь(яь 4 ь/ »з зь — '/.

1»/ /+ 2 1 м(»(» ( Х )=3/(!+2)0+ ) »»»(- (» С учетом этих соотношений имеем »я =ч» ( Задача 135. Среднее значение магнитного момента Для электрона со спином в центральном поле вычислить средние значения всех трех проекций векторов 5, ь и /, а также вектора магнитного момента. Решение. Пусть ("и,> и=~ Из таблицы видно, что при /='/, сферической симметрией обладают как 5-, так и Р-состояния.

Вообще можно установить, что по мере увеличения значений ~пь ~ вытянутая форма электронного распределения заменяется на сплющенную. Сумма чисел "<ь(„>/<гз>, стоящих в нашей таблице на одной строке, как нетрудно видеть, равна нулю. Это объясняется тем, что такое суммирование приводит к конфигурации замкнутой оболочки. В этом можно убедиться и в общем случае, если принять во внимание, что Ид.

Среднее значение магнитного момента — собственный спинор, тогда й и! 5„и = — (и",и, + и*,и,), и! 5 и= —,. (и,'и,— и,'и,), й и! 5,и = — (и',и,— и,"и,), (135.1) Согласно результатам задачи 1ЗЗ для собственных спиноров гз и,7, имеем р (г) с!с ==А!, с ~ сг т —— )21+1 ' ' г г' Р~ (г) и,= Вс,сУ 21+ ! с, ос.ч, г з (135. 2) где Л, = 1г/ !+ — +тг, В, = — )/ !+ — — тг(135.3а) 1 / — г 2 '' сч —,с )/ 2 2 2 1+ 2 — т, В, = 1/ 1+ — +т. (135.35) 1 /' <5„>=0 и <5о>=0.