Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике.djvu), страница 6

61. Исходя из результата предыдущей задачи, найти формулу дли поляризуемости атома. Определить численные значения коэффициента поляризуемости для атомов водорода и гелия, находящихся в основных состояниях. 62. Атом водорода находится в параллельных электрическом и магнитном полях. Найти расщепление в случае а) слабых полей (энергия штарковского и зеемановского расщепления меньше энергии тонкой структуры); б) средних полей, для герма с главным квантовым числом п =-2. 63. Атом водорода в состоянии с главным квантовым числом и=-2 находится во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях. Определить расщепление, предполагая, что поля сильные (энергия электрона во внешнем электрическом и магнитном поле больше энергии тонкой структуры). $8.

МОЛЕКУЛА 1. Получить уравнение Шредингера для двухатомной молекулы, считая приближенно, что центр тяжести молекулы совпадает с центром тяжести ядер. Для описания движения электронов воспользоваться подвижной системой координат. связанной с ядрами. Спиновые эффекты не учитывать. 2. Решить предыдущую задачу, учитывая спиновые состояния электронов и описывая эти состояния в подвижной системе координат 1, то ~.

3. При малых колебаниях ядер волновую функцию, двух- атомной молекулы можно приближенно представить в видз 41 9 8! МОЛЕКУЛА произведения трех функций Ф ю(1г тн "! ео Р) у(Р) гт(8 '»). Первая функция определяет движение электронов при закрепленных ядрах, вторая и третья колебательные и вращательные состояния молекулы. Найти уравнения, определяющие колебательные и вращательные части волновой функции двухатомиой молекулы. 4.

Определить возможные термы двухатомных молекул Ха, Вга, 1.1Н, НВг, СХ, которые могут получиться при соединении атомов, находящихся в нормальном состоянии. 6. Найти формулу, определяющую электронные термы при взаимодействии атома гелия с атомом водорода при условии, что оба атома находятся в основных состояниях. 6. Найти колебательный и вращательный спектр энергии двухатомной молекулы, если считать, что ядра движутся в потенциальном поле вида !1 11 Г Ъ'(г) = -- 2О! — — — 1, где р = —.

1р 2р" (' л 7. Эффективный потенциал предыдущей задачи 1((г)+ йа + — К(К+1) вблизи минимума представить в виде потенциала осциллятора и найти энергетические уровни малых колебаний. 8. Определить момент инерции и расстояние между ядрами в молекуле Н'С1а", если разность частот двух соседних линий во вращательно-колебательной (инфракрасной) полосе Н'С1в» равна б» = 20,9 см-'. Вычислить соответствующее Ь» в спектре ОС1. 9. Вычислить отношение разностей энергии между двумя первыми вращательными и двумя первыми колебательными уровнями молекулы НГ.

Момент инерции молекулы НР равен (=- 1,35 ° 10 г сма и частота колебаний Ь»е =- 3987 см-т. 10. Определить энергию диссоциации молекулы Р„если энергия диссоциации и нулевая энергия колебания молекулы На равняются 4,46 эа и 0,28 эв соответственно, ! 1, Для аппроксимации хода кривой потенциальной энергии двухатомной молекулы часто употребляется функция Ъ'= О(! — е зн)а; $= —, предложенная Морзе. Определить энергетический спектр колебаний прн К =- О. 12. Показать, что оператор квадрата полного момента количества дан~кения двухатомной молекулы может быть 42 задачи представлен в виде ,Р = — ~ — — ~з1п б — )+ — ~ — — 1Мс соя б~ ~+ Лс.

! мпбдб~' дб] а|изб ~дб 13, Оси $, т), ~ являются осями прямоугольной системы координат, жестко связанной с вращающимся твердым телом. Найти вид операторов А, .Уч..1с проекций на оси 1. момента количества движения твердого тела, 14. Показать, что операторы й, .У„, Хс подчиняются следующим правилам коммутации: 1А — А,Ч=--11с 1„А †.)„.~, = — с)ы 'с'б "ь'с г ~т т. е. правила коммутации операторов коипонент момента во вращающейся системе координат отличаются от правил коммутации в неподвижной системе лишь знаком в правой стороне написанных равенств.

16. В классической механике для случая Эйлера в Пуансо имееи следующие уравнения: А — +(С вЂ” В)дг =- О, др дт В Я+ (А — С) гр = О, С вЂ” +( — А)рб=о Фг д.тб Р 1 — +1 — — — ~./Х=О и т. д. дг 1в с~ ° '-= Показать, что в квантовой механике последние соотношения примут вил дев+2(,В с)О;)с+ гсгч)= и д. дтб 16. Молекулы, имеюпбие две или несколько осей симметрии третьего или более высокого порядка (например, СН )„ представляют сферический волчок. У таких молекул эллипсоид инерции вырождается в сферу.А = В =С, Определить уровни энергии сферического волчка.

э 81 молекула 17. Молекулы с осями симметрии порядка выше второго (например, 50,, ХНз, СНзС1) и молекулы с более низкой симметрией или даже вовсе не обладающие симметрией, но для которых два главных момента инерции одинаковы, могут рассматриваться как симметрические волчки А =. В чь С. Определить уровни энергии симметричного волчка. 18.

Написать уравнение Шредингера для симметрического волчка. 19. Найти собственные функции оператора 20. Вычислить матричные элементы оператора Гамильтона для асимметрического волчка. 21. Определить уровни энергии асимметрического волчка для 7= 1. 22. Написать волновые функции асимметрического волчка для случая 7= 1. 23. Основываясь на свойствах матриц Паули, показать, что даже при учете взаимодействия спин — спин аЕ-термы двухатомной молекулы остаются нерасщепленными.

24. Определить мультнплетное расщепление аХ-терма, относящегося к типу связи Ь. 25. При приближенном решении уравнения 1Предингера (см. задачу 3 й 8) оператор ГЬз ~ - " " - - 2 " д " д 2 — в ~ с(28 (Мв 1М~Мс 1МсМч)+ — Мч — -+2Мс Ьз ~ =та ие принимался во внимание, поскольку диагональный элемент этого оператора равен нулю. Учет иедиагональных элементов, относящихся к одному и тому же электронному (а, Л) и внбрациониому (ю) состоянию, приводит к эффекту, носящему название вращательного искажения спина.

Рассматривая оператор ш как возмущение, определить изменение под влиянием этого возмущения уровней дублетного терма. 26. Установить связь между величиной суммарного спина ядер молекулы йм находящейся в Е-состоянии, и возможными значениями квантового числа К. 27.

Определить зеемановское расщепление терна двухатвмной молекулы; терм относится к случаю а, Магнитное задачи поле предполагается малым, т. е. энергия взаимодействия спина с внешним магнитным полем мала по сравнению с разностью энергий между последовательными вращательными уровнями. 28, Определить зеемановское расщепление терма двух- атомной молекулы, если терм относится к случаю Ь, и магнитное поле предполагается таким, что энергия взаимодействия спина с внешним магнитным полем мала по сравнению с энергией взаимодействия спин †о. 29.

Решить предыдущую задачу в случае, когда энергия взаимодействия спин в ось мала по сравнению с энергией расщепления, обусловленного внешним магнитным полем. 30. Определить зеемановское расщепление дублетного терма двухатомной молекулы, если терм относится к случаю Ь и магнитное поле таково, что энергия взаимодействия магнитного момента с этим яолем одного порядка с энергией взаимодействия спин в ось. 31.

Определить рашцепленне в электрическом поле терма двухатомной молекулы, имеющей постоянный дипольный момент р. Расщепляемый терм относится к случаю а. 32. Решить предыдущую задачу для терма, относящегося к случаю Ь. 33. Определить энергию твердого липоля р, находящегося в однородном электрическом поле $, рассматривая поле как малое возмущение. Указание. Воспользоваться соотношением / (1+1) — ' / Р— ° СОЗЬР„„=у (2(+3)(И+1)ЕЫЬ ° +у (2ь+1)(21 1)Рг-Ью 34. При помощи теории возмущений определить закон взаимодействия двух невозбужденных атомов водорода, находящихся на большом расстоянии )с друг от друга. 36.

Рассмотрим совокупность атомов, распределение зарядов в которых имеет шаровую симметрию. Как было показано в предылущей задаче, между двумя такими атомами, находящимися на большом расстоянии друг от друга, действуют так называемые дисперсиониые силы. Дисперсионные силы имеют квантовый характер, н в отличие от классических поляризационных сил они обладают свойствами аллитивности. Показать, что энергия взаимодействия между двумя такими атомами не зависит от присутствия других Рассеяния подобных же атомов, т.

е. показать, что энергия взаимодействия совокупности атомов составляется аддитивно из энергий взаимодействия между отдельными атомными парами. $9. РАССЕЯНИЕ 1. Найти сечение рассеяния частицы потенциальной ямой при малых скоростях (длина волны де Бройля значительно больше размеров ямы).

2. Определить сечение рассеяния медленных частиц в поле отталкивания и(г)=и, ( <а), Е/(г) == 0 (г ~ а). 3. Выразить через фазы рассеяния первые три коэффиНа циента разложения сечения упругого рассеяния — „по полили номам Лежандра. 4. Найти фазы рассеяния в поле (l = †, . Определить А га сечение рассеяния на малые углы. б. Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния в поле А отталкивания У = —, в борновском приближении и согласно гз классической механике. Определить прелелы применимости полученных формул.

6. Найти дискретные уровни для частицы в поле приг тяжения Б'(г)= — Елее при 1=0. Определить фазу рассеяния ае для этого потенциала и проанализировать связь между аэ и дискретным спектром. 7. Показать, что для кулоновского поля имеется однозначное соответствие между полюсами амплитуды рассеяния и уровнями дискретного спектра. Указание.